離散フーリエ変換（DFT）の実数と虚数

質問

離散フーリエ変換を行うと実数部と虚数部が出力されるのはわかったのですが、この実数部と虚数部そのものが何であるかがわからないです。

質問は下記の二つになります。
(1)離散フーリエ変換された信号の実数部とは何で虚数部とは何なのでしょうか？
(2)実数部と虚数のどちらかだけでは離散フーリエ変換にならないのでしょうか？

どなたかよろしくお願いします。

回答No.5

kiyomushi

うっかりミスだと思うのですが、「絶対値が周波数成分のパワーである」は、ちょっと違います。

正しくは「絶対値の 2 乗が周波数成分のパワーである」です。

回答No.4

kiyomushi

> 虚部についてですが、虚部ときくと虚数のjと関係があるように思ってしまって
> いまいち実際の具体的なイメージを持てずにいます。

「虚数の j と関係がある」という部分は仰るとおりで、関係大有りです。

でも、「(実数) 波形に虚部がある」と考えるとおかしくなります。波形に虚部が
あるのではなく、スペクトル(変換結果)に虚部があるのです。

虚部が出てくるのは、複素の指数関数 exp(jθ)=cos(θ)+j sin(θ) と波形を
掛け算して積分するフーリエ級数展開だからで、DFT はその離散版です。

> 虚部を実際の具体的なイメージとして表現する方法はありませんでしょうか？

波形の、時刻 0 を中心に左右奇対称な成分の強さです。sin(nθ)は n によらず
全部奇対称ですよね。

> 人の声の場合ですと、波形が複雑であるため偶関数と奇関数の両方が含まれて
> いるのでしょうか？

そうですね。人の声は偶関数でも奇関数でもないです。両方が混ざっています。
だからフーリエ変換すると実部と虚部が両方出て来ます。

ちなみに、人の声に限らず、複雑でも単純でも、全ての波形は偶関数と奇関数
に分解できますが、それをフーリエ級数で完全に表せるとは限りません。

補足

ご回答ありがとうございます。
あれから考えてみたのですけれど、わからない部分があります。
離散フーリエ変換される音声が入力として、入力する場所が実部と虚部にわかれている場合これは実部と虚部の両方へ入力することになるのでしょうか？
それとも入力が実部と虚部にわかれている時点でここに入力されるのは離散フーリエ変換後の信号となるのでしょうか？

もしよければご回答をよろしくお願い致します。

回答No.3

hrsmmhr

絶対値がパワーであると分かるなら、
初期位相がたまたまπ/2（虚部だけ）だったなら実部0になったりするとか
周波数成分の比較としてまずいことがたくさんあることが分かると思うのですが…

回答No.2

kiyomushi

(1) 実部は cos(nθ) の係数、虚部は sin(nθ) の係数です。
(2) 変換前の関数が偶関数なら変換後は実部だけ、奇関数なら虚部だけになります。

補足

ご回答ありがとうございます。

実部は理解することができました。
虚部についてですが、虚部ときくと虚数のjと関係があるように思ってしまって
いまいち実際の具体的なイメージを持てずにいます。
虚部を実際の具体的なイメージとして表現する方法はありませんでしょうか？
人の声の場合ですと、波形が複雑であるため偶関数と奇関数の両方が含まれて
いるのでしょうか？

もしよければよろしくお願いします。

回答No.1

hrsmmhr

(1)実数部、虚数部ではなく、その絶対値がその周波数成分のパワー、位相角が信号列の時系列上の初期位相だと思います
(2)それだけで意味がある使い方もあるかもしれませんが、周波数成分の強さは初期位相が分からないと比較できないです

補足

ご回答ありがとうございます。
絶対値が周波数成分のパワーであることは理解できましたが、位相角が
信号列の時系列上の初期位相であり、それがなければ周波数成分の強さ
比較できないのはどうしてなのでしょうか？

もしよければよろしくお願いします。