離散フーリエ変換の周波数分解能

質問

失礼します。

DFT（離散フーリエ変換）について質問させてください。
DFTの周波数分解能は時間領域でのデータが持つ幅の逆数で決まりますが、
この周波数分解能で表現されなかった周波数成分はどこに行くのか教えていただけないでしょうか？
DFTでの離散的な周波数の間にある成分はどこへ行くのか？

単純に考えて、DFTは形としては級数和なので、
それらの成分はどこかに畳み込まれているように思うのですが、
表現されない周波数成分の情報は消されたりするのでしょうか？

よろしくお願い致します。

回答No.3

metzner · ベストアンサー

質問の意味が掴みかねますが。。。予想して答えます。

離散化された周波数の間の周波数は、時間領域の信号が本当に周期的なら、存在しないと思います。しかし本当の信号は周期的ではないことがおおいです。ですから精密化しようと思えば、時間領域での信号の幅（人工的な周期）を大きくする必要があります。すると離散化された周波数の幅は狭まります。よって強いていうなら、離散化された周波数の間の周波数の情報は、本来周期的でないものを周期的なものにしてしまうという意味で失われていると思います。

お礼

ありがとうございます。解決しました。

そうですね。時間領域で見ている範囲のデータ列が無限に周期的に連なっていると考えれば、
その周期の逆数の倍でしか周波数は存在しませんね。
時間領域で見る範囲を大きくとることによって、今まで表現されていなかった周波数に情報が入ってきますが、それは範囲を大きくしたところからやってきたということですね。

なにか勘違いをしていました。
ありがとうございます。

回答No.4

tadys

＞時間領域でのデータはそのような不都合が起きないよう両端で０に収束していると
仮定してもらって結構です。

もし、窓関数を使用していないのに両端で０に収束しているとすると
あなたの言う周波数分解能で表現される成分しか含まれない事になります。
ですから他に行く必要などもともと無いのです。

もし、表現可能で無い周波数成分を含んでいるのに両端で０になっているのであれば窓関数を適用した結果です。

お礼

ありがとうございます。
勘違いをしていました。おっしゃる通りです。

回答No.2

tohoho2

http://cp.literature.agilent.com/litweb/pdf/5988-4368JA.pdf
のp4～p7が参考になると思う。

回答No.1

tadys

信号のサイクル数がデータの幅の中に丁度収まらない場合はデータの始まりと終わりの部分に段差が生じます。
この段差は高い周波数成分を持つ為、その部分がフーリエ変換されて色々な周波数に現れます。
この為、元の周波数のスペクトラムが広がって現れます。

通常、FFTでは窓関数を使用しますが、窓関数をフーリエ変換したものがスペクトラムの広がりかたを示します。

データの範囲に信号の複数サイクルが丁度収まる時には、窓関数を使用しない（矩形窓を使用するのに等しい）場合にはスペクトラムの広がりが起きません。

こちらを参考に
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AA%93%E9%96%A2%E6%95%B0

補足

すみません。

私がうまく言いたいことを表現できてないからでしょうが、
窓関数は今考えていません。
時間領域でのデータはそのような不都合が起きないよう両端で０に収束していると
仮定してもらって結構です。

あくまで私が聞きたいのは、
ある時間領域でのデータをDFTする場合、
DFTで表現されない周波数のうち、ナイキスト周波数内のもの、
デジタイズされた周波数の間にある周波数に対応する振幅情報はどこに行っているのかということでして・・・。
未だうまく説明できていないかもしれませんし、
私が何か勘違いしているだけなのかもしれませんが・・・。