直感では「ウソだろ！」と思うけれど、数学的には正しいネタ

質問

ごく普通の一般人である（と思っている）私が最近驚いた話です。
「地表に沿って、ロープで地球一周ぶん巻いたとする。そのロープを1mゆるめて、そのぶん均等に地表から浮かすようにすると、約16cm浮く。」
一般人の直感では、40000kmものロープをたかが1mゆるめただけでは、せいぜい誤差の範囲で、1mmたりとも浮きそうもない…と思いますが、計算してみるとたしかに16cmほど浮きます。
なんだかだまされたような不思議な気分です。

そこで、このような「一般人の直感に反するような数学的結果が出るネタ」って、ほかに何かないでしょうか？
できれば上の例のように簡単な計算で確かめられればよりよいのですが、なければ「証明は難しいけど結果はものすごくエキサイティング！」というネタでもかまいません。

回答No.16

redowl · ベストアンサー

＃３です
御指摘に感謝（汗）、半径で計算すべき所、直径で・・・・早トッチング。

のあと、思い出したのが

コップ一杯の水（赤い水：水分子に色がついていると仮定）
を海に流し、均一に混じった状態で再びコップですくった時
最初に有った赤色水分子は何個入っているか？

この問題をネットでも、検索すると色々見つかるようで。
海の水の総量で、答えにばらつきが有るようですが。。。。
その数には、驚きでした。

お礼

再度ありがとうございます。
コップ一杯を、地球の海に均一に…ですよね？
検索する前に私の直感（根拠なし）を書いておきます。
宝くじで3億円が当たるくらいの確率で、運がよければ1個入っているかいないか、ってところじゃないでしょうか？
…と思うのは普通の人で、きっと莫大な数なんでしょうね。
もちろんとても納得はできませんが。
あとで一人で驚きたいと思います。

回答No.17

eibu

バナッハ＝タルスキーのパラドックス
「球を適当に分割して、組み替えることで、元と同じ球を2つ作ることができる。」
が証明されています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%8F%EF%BC%9D%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

お礼

回答ありがとうございます。
もう世の中が信じられなくなってきました。

回答No.15

endlessriver

あなたの例とも関係すると思うのですが、
昔、仕事で変形の問題に悩まされていた話です。
例えば夏、鉄道の線路が熱膨張で変形して曲がってしまったという話が昔、いくつかありました（最近は聞かないけど）。

これは直角三角形（円弧などでも）を使った簡単な近似計算をすると長さLの変化ΔLとすると膨らみhは、おおよそh≒√(LΔL)となります。
例えば、長さ100mmが1mm変化したら膨らみは10mmです。
これは、はがきなどを2枚重ねて少しずらせばすぐ確認できます。

ホントに昔この問題には悩まされました。この計算を見つけたときはしかたないんだと（仕事だからそれですまないのだった）。

お礼

回答ありがとうございます。
たしかに、直感に反する計算結果ですね。
きのうたまたま、とある吊橋に行ってきたのですが、橋を渡りながらこの計算を思い出してしまいました。
やっぱり、直感に反する計算結果が出ました。不思議。

回答No.14

moritan2

正１７角形は定規とコンパスで作図できる。

お礼

回答ありがとうございます。
17角形ですか…また微妙なのがきましたねえ。
偶数ならまだなんとかがんばればできそうですけど（と思ってしまうあたりがやっぱり素人ですか？）、17って…奇数だし素数だし、無理でしょ。
…と書いたあとにネットで検索してみたら、たしかに出てきました。
これを考えた人の頭の中って、どういう構造をしているんだろう？

回答No.13

noname#19624

１００万円を預金保険対象で元本保証の円定期預金にして、その利子を全て１円玉で受け取ると、５５億年後（太陽の寿命）には地球上の全てのアルミニウムを自分で回収できる。

お礼

なんだか、時間的にも空間的にもとほうもないスケールの話で、一般人には直感すらわかない話ですね…
回答ありがとうございました。

回答No.12

nijik

1＝0.99999……

　数学では正しいことになっていますが、ホントかなあ？
　私は「1と0.99999……は異なる」の画期的な説明（注）を発見しました。今のところ、その説明のどこが誤りかを指摘できた人はいません。というか、自分自身でも指摘できません。

　ちなみに、「10進数表記には限界があり、その関係で……」や「イコールには３つの意味があり、そのどれを使うかによっては……」という“条件”つきながら、「1と0.99999……は異なるともいえる」と認める数学関係者もいます。

（注）「証明」という語を使うと、もめるので、「説明」にしました。

お礼

たしかにこれはマユツバものですねえ。
ええ、例によって素人の直感で根拠も何もありませんが。
数学ってやっぱり思いもよらない不思議なことに満ちあふれてますね。
神秘的です。
回答ありがとうございました。

回答No.11

age_momo

1日3%の利息で1円借金すると3年後には借金が
100兆円を越える。

中学生の頃に考えたネタです。

お礼

これも、ご利用は計画的に…ですね。
私が学校の先生だったら、
「いいか、“数学なんてできなくても生きていける”なんて高をくくってたら身の破滅だぞ」と生徒を脅かしたくなりそうです。
回答ありがとうございました。

回答No.10

SortaNerd

3つのカップと、同じく3つのボールを用意します。それぞれは区別できるように番号が振られています。
そして、ボールを適当にカップに入れます。
このとき、どのカップにも正しい番号のボールが入っていない確率を求めると、
2/6 = 33%
になります。
同じことををカップとボールを増やしてやるとどうなるでしょうか。
確率は減る?それとも増える?
実は、ほとんど変わらないのです。それもまったく変わらないわけではなく、微妙に変化しながら一定の値(1/e=37%)に近づいていきます。

お礼

う～ん、素人の直感でいろいろイメージしてみたんですが、正直、減りそうでもあり、増えそうでもあり、よくわかんないから、真ん中をとって「変わらない」に一票！　…えっ、ウソ？　正解なの！？　やったー！　…ってな感じですかね。
なんだか、みなさんの回答にお礼を書いていると、自分のアホさかげんを盛大にアピールしているようで悲しくなってきます。
でも、刺激的な回答が多くてとても楽しいです。
回答ありがとうございました。

回答No.9

hir0masa

ウラも表もない図形「メビウスの帯」とか好きです・・・
私的に出来そうで出来ない（むしろ出来ないことが示されている）定規とコンパスのみで
・角を３等分せよ。
・体積が２倍の立方体は元の立方体の１辺の長さを求める。
・任意の円と同じ面積を持つ正方形の作図。
は興味深いですよね。

ちなみにうる覚えですが４０人クラスだと８９％の確立で誕生日が同じ人が少なくとも２人いるんだったと思います。もう偶然じゃなくて必然の領域ですね。

お礼

3つともできないんですか？
たしかに、がんばればなんとかできそう（根拠なし）な微妙なものばかりです。
回答ありがとうございます。

回答No.8

tiltilmitil

「伸ばした腕の先の五円玉の穴から、満月を欠けることなく覗くことが出来る」

http://www.akita-pu.ac.jp/column/03.html

お礼

回答ありがとうございます。
小学生のころ聞いたことがあったので、なんとなく「そういうもんだ」と思って今日まできましたが、今あらためて手をのばして五円玉の穴を見ていると、「いや、無理だろ…」と思います。
不思議ですね～。

回答No.7

sta_vanilla

証明はさっぱり分かりませんが、代わりに飛びきり信じ難い数学的結果が
出てくるネタを・・・。

一辺の長さが 100,000cm の正方形の区画に一辺が 1cm の単位正方形を詰め込む。
言うまでもなく縦 100,000 個、横 100,000 個にきっちりと隙間なく詰め込まれ、
全部で 10,000,000,000 個の単位正方形が重なりなく入ることになる。

ここで元の正方形の区画の辺長を 0.01cm だけ伸ばしてみる。
縦横が 100,000.001 cm の正方形の区画に何個の単位正方形が入るだろうか？
もちろん単位正方形同士の重なりが決してあってはならない。

普通に考えれば、やはり縦 100,000 個、横 100,000 個を並べて、残った
幅 0.01cm のＬ字型の狭い領域は、利用できない無駄なスペースとして
諦めなければならないように思われる。

しかし（信じ難いことに）次の事実が証明されている：

『別の配置を考えれば、少なくとも 10,000,000,520 個の（多分それ以上の個数の）
単位正方形を詰め込むことが可能である』

つまりＬ字型の領域を残すのではなく、別の方法で更に 520 個の単位正方形を
詰め込むことが出来るより良い配置が存在する！

可能であることだけが証明されていて、具体的に単位正方形をどのような配置で
詰め込めば良いのかは（恐らく現在も）完全には知られていない。

出典： Numbers At Work And At Play（邦題：「数、数、・・・」）
by Malcolm E Lines

お礼

いや、ウソでしょう、それ…。絶対無理ですって。証明が間違ってるんじゃないですか？
（一般人としては勝手なことを言いたい放題ですが、あしからず）
それにしても、証明はできるけど実際の方法は誰も知らないって、神秘的というかシュールというか…。
驚きです。
回答ありがとうございました。