スキャンした画像から円の方程式を求めたい

質問

円(の一部)をスキャンしたものからレタッチソフトなどで円周上の点の座標(Xi,Yi)を求め、
そこから円の中心(a,b)や半径rを求めたいのですが、
当然のことながらスキャン時等に誤差が生じるため3点に限らず多くの点の座標から
最小二乗法などで求めるようにしたいと思っています。
しかしながらΣ{(Xi-a)^2+(Yi-b)^2-r^2}^2が最小になるように式の導出を行おうとすると、
ab,ar,br等の交差項が現れ私の計算力では求めることができません。
うまく行う方法、または代わりの方法はないものでしょうか。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

日本語のサイトだと見つかりにくいみたいですが、
英語で「circle fitting」って検索したら、大量に引っかかりました。

例えば、

円へのフィッティング
http://www.math.sunysb.edu/~scott/Book331/Fitting_circle.html

（以下、参考）

http://www.math.temple.edu/~renault/ellipses.html

http://www3.bpe.es.osaka-u.ac.jp/~asai/mathematica/index.html

http://autotrace.sourceforge.net/WSCG98.pdf

補足

英語がよくわからないのですが、数値的に方程式を解くということでしょうか?
最初に挙げていただいたサイトもリンクを辿らないと具体的に何をやっているのかわからないのですが、
解説していただけないでしょうか。それがダメなら理解するための手がかりを教えていただけませんか?

回答No.3

rabbit_cat

画像からの円や直線の検出には、
「ハフ変換」という手法がよく使われています。
例えば、こことか。
http://codezine.jp/a/article.aspx?aid=153

補足

となるとレタッチソフトとEXCELでは難しいですね。
扱いたい画像において座標(x,y)が何色なのかわかるようなソフトでないと難しいってことですよね。

回答No.1

teuu

多くの点の座標か求めるのではなく、
３点で求めたa, b, rの多くの組から、
真の値(に近いもの)を求めるというのはどうですか？

補足

回答ありがとうございます。参考にさせていただきます。

真の値(に近いもの)はどのように出したら良いでしょう?
単純に平均した場合、a,b,rの間で矛盾が生じる気もしますし、数個の異常な点の影響が大きくなりませんか?