相加平均とモーメント

質問

こんばんは、皆さん。

ある書物に拠りますと、相加平均は重心の位置を示すとありました。
重さのない棒（便宜上）に重さが２ｋｇ、３ｋｇ、５ｋｇの錘を用意し、
原点から２ｍのところに２ｋｇ、３ｍのところに３ｋｇ、５ｍのところに５ｋｇの錘をつけます。
このときに支点を探すと、原点から３．３３３…ｍのところになると言うのです。

支点を基準にして逆算（検算）すると確かに合ってます。
なぜこうなるのかがわかりません。

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　←重さのない棒
＾　　＾　　＾　　　　　　＾
原　　(2)　　(3)　　　　　　(5)
点

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　←重さのない棒
＾　　＾　　＾　＾　　　　　＾
原　　(2)　　(3)　支　　　　　(5)
点　　　　　　　　点
　　　　　　　　（支点は相加平均の３．３３３…）

回答No.2

age_momo · ベストアンサー

まず、例の場合、2,3,5(cm)に5kgの錘がついているとして支点になる点をxと
すると

5(x-2)+5(x-3)=5(5-x)
両辺を5で割り、
(x-2)+(x-3)=(5-x)
移行して
(5-x)+(2-x)+(3-x)=0
(5+2+3)-3x=0
x=(5+2+3)/3

これをそれぞれの距離をa[n],錘の重さmとして一般化してみると
m(a[1]-x)+m(a[2]-x)+・・・+m(a_[i]-x)=m(a[i+1]-x)+m(a[i+2]-x)+・・・+m(a[n]-x)
(a[1]-x)+(a[2]-x)+・・・+(a[i]-x)=(x-a[i+1])+(x-a[i+2])+・・・+(x-a[n])
(a[1]-x)+(a[2]-x)+・・・+(a_[i]-x)+(a[i+1]-x)+(a[i+2]-x)+・・・+(a[n]-x)=0

Σ[k=1,n](a[k]-x)=0

nx=Σa_k

x=1/nΣa_k

平均の式そのものです。

お礼

原点というのが出てくるのが納得いかなかったのですが、
原点は各錘の距離を表す単なる基準にすぎないわけですね。
数直線上の０にあたるもので、これ自体とくに深い意味はないことがわかりました。
ありがとうございました。

回答No.1

age_momo

なってますか？

それぞれの重さ、距離をx_1,x_2,x_3・・・x_nと表すとして
支点の位置をaとすると

x_1(x_1-a)+x_2(x_2-a)+・・・・+x_n(x_n-a)=0

x_1^2+x_2^2+・・・・+x_n^2-a(x_1+x_2+・・・・+x_n)=0

a(x_1+x_2+・・・・+x_n)=x_1^2+x_2^2+・・・・+x_n^2

ですから

a=Σx_k^2/Σx_k

例の場合だと

(2^2+3^2+5^2)/(2+3+5)=3.8

支点の位置は3.8のはずですよ。

重さは一定(m)で距離だけx_1,x_2,x_3・・・x_nなら

m(x_1-a)+m(x_2-a)+・・・・+m(x_n-a)=0

m(x_1+x_2+・・・・+x_n)-n*m*a=0

a=1/nΣx_k

で(相加)平均になりますけど。

補足

確かになりません。
あなたのおっしゃることは正しいです。

よくよく質問を見直すと重さが違う錘になっていました。
そこだけ訂正します。全て同じ重さの錘です。
そのときに相加平均が支点になるそうです。
なぜそうなるのでしょうか？

よろしくお願いします。