３つ係数を求める最小二乗法

質問

実験のデータをもとにある式をたてようと思っています。
　Y=a*t^α*τ^β
のa,α,βを求めたいのですがいまいち計算が合いません。Y,t,τは概知です。
自分なりに計算したのでチェックをお願いいたします。

　Y=a*t^α*τ^β　1次式に変形して
　log(y)=log(a)+αlog(t)+βlog(τ）　各項を文字に置き換えて
　Y=A+αT+βΤ
最小二乗法から
　Mi=a11Z1+a21z2+a31z3

[a1a1]z1+[a1a2]z2+[a1a3]z3=Σa1iMi=c1
[a2a1]z1+[a2a2]z2+[a2a3]z3=Σa2iMi=c2
[a3a1]z1+[a3a2]z2+[a3a3]z3=Σa3iMi=c3
このとき
　Mi=Y
a1=1
z1=A
a2=T
z2=α
　a3=Τ
　z3=β

データは
　t =1.8 ,3.6 ,5.4
　τ =5.75,5.75,5.75 (一律）
　y =0.00158,0.003955,0.006999
クラメルの式で解くと、
　A=-2.464
　α=0.219
　β=-0.134
になりました。
理想としては、右上がりのグラフになって欲しいのに、βがマイナスのため右下がりになってしまいます。

根本的に解き方が違うのでしょうか…
どうか、よろしくお願いします！！

回答No.2

at9_am · ベストアンサー

このデータでは、αに関しては決まりますが a とβは決まりません。

log(y)=log(a)+αlog(t)+βlog(τ）

という式ですが、τが一定なので

C = log(a)+βlog(τ)

とおくと C も一定になります。この C は求めることができますが、それを満たす a とβの組は無数にあります。

もう一つ付け加えるならば、未知数＝データ数なので、この場合は連立方程式で解けます。最小自乗推定は必要ありません。勿論、この場合にも同じく a とβが決まらない(解が無数に存在する)という問題が発生します。

お礼

回答ありがとうございます。
確かに、このデータでは求まりませんね；
τをが違うデータもあわせてやってみるとできました！
いままでエクセルの式が間違っていて答えがでてなかったようで…
初歩的ミスで恥ずかしい限りです。
どうもありがとうございました！

回答No.1

age_momo

3次正方行列Aの要素をa11-a33で表すとして、この場合、

a11=Σ1=3
a12=a21=Σlog(ti)
a31=a13=Σlog(τi)
a22=Σ{log(ti)}^2
a23=a32=Σlog(ti)log(τi)
a33=Σ{log(τi)}^2

ですが、今回の実験結果では正則ではないようです。
確認ください。

お礼

回答ありがとうございます。
確かに正則ではありませんでした…。
エクセルの式が間違っていて気づきませんでした。
データを増やして再チャレンジしてみます。