確率の意味

質問

共立出版の「共立数学公式」の419ページに次の『 』内のような記述があります。

『確率空間を（Ω, P）, Ω={ω1, ω2, …, ωn, …}，P={p1, p2, …, pn, …}, pn=P(ωn) とする。実数列{xl}={x1, x2, …, xl, …} に対して Al={ωn; X(ωn)=xl}<ΩとするときP(Al)=plがΣP(Al)=ΣP(X=xl)=Σpl=1を満たすなら, このΩから{xl}への写像X=X(ω)を離散的確率変数といい, (xl, P(X=xl))≡(xl, pl)をXの確率分布, plを確率密度という.』

注1. 上記『 』内のうち、<は集合の「含む」の記号です。lは「を満たすなら」の前のそれは数字の「いち」であり、それ以外は全て小文字の「エル」です。また、「2つ続くアルファベット」または「2つ続くアルファベットと数字」のうち右側の文字は下付き文字です。いずれもどのように入力してよいのか分からないので、上記のように入力させていただきました。
注2. 上記『　』内は「共立数学公式（泉信一ほか 1977）」の419ページから引用させていただきました。

この記述が理解できないのでお教えいただきたいのですが、本来なら著者の方にお教えを乞うべきと思いますが著者がご高齢でありそれもかないません。もしおわかりの方がおられましたらお教えいただきたいのですが。理解できない点は次の(1)～(3)です。

(1) Al={ωn; X(ωn)=xl}のωnは、「n番目のω」というただ1個のωを表しているのでしょうか、それとも「X(ωn)=xlという条件に合致する全てのω」を表しているのでしょうか。

(2) X(ωn)=xlは、「n番目のωであるωnの写像であるX(ωn)はl番目のxであるxlに等しい」という意味でしょうか。

(3)(xl, P(X=xl))≡(xl, pl)は、(xl, P(X=xl))=(xl, pl)と同じ意味でしょうか。

素人の質問で申し訳ありません。また、他の方がお書きになった書物についての質問で申し訳ありません。もしお分かりになりましたら、よろしくお願いします。

回答No.1

noname#24477 · ベストアンサー

(1)Alは「X(ωn)=xlという条件に合致する全てのωn」
（n＝1,2,3・・・）を要素とする集合
(2)yes
(3)yes　ただ＝を使うと１つだけのような感じになるので
≡を使って集合としてというか、全体として定義します
よ、といった感じでしょうか。

補足

『　』内は何度読んでも分からなかったのですが、お教えいただいてだいぶん分かったように思います。有り難うございます。

それで、できましたらもう少しお教えいただけないでしょうか。
いま、さいころを振って出た目の数が成す標本空間Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}を考えます。各目の数は1/6という確率を有しているので、確率測度PはP={1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6}となると思います。ここで、AをA1={1}、A246={2, 4, 6}のようにAの右にその要素の目の数を書いてその要素を示すこととします。次の(4)～(6)についてお教えいただけないでしょうか。

(4) A246とA462は等しいと考えてよいのでしょうか。つまり、{2, 4, 6}={4, 6, 2}と考えてよいのでしょうか。(よいように思うのですが)
(5)P(A246)は、「さいころを3回振って出る目の数が2、4、6となる確率」という意味でしょうか。
(6) P(A246)の値は、1/216(=1/6×1/6×1/6)と考えてよいのでしょうか。

よろしくお願いいたします。