maxの演算を教えてください

質問

引数の中でそれより小さい数が存在しない数を選び出す(要するに最大値なんですけど)、max()と言う記号がありますよね？これの演算の際の基本法則を簡単にまとめて教えていただきたいです。例えば、a<c,b<cならばmax(a,b)<cなどです。わかる方回答お願いします。

回答No.5

betagamma · ベストアンサー

No.2です。いろいろ出てきましたね。
No.3さんの
「a≦c, b≦c ⇒ max(a,b)≦c」
は、直感的ですが、逆の
「max(a,b) ⇒ a≦c, b≦c」
も成り立つと思います。実際、確率の問題で、これを使ってといているのがあったはずです。

maxの逆はminですが、よくよく考えると、minはmaxを使って書き表せますね。a,bを実数とすると、

min(a,b)=-max(-a,-b)

と。整数とか有理数でも同じですね。
また、a>=1,b>=1なら、技巧的ですが、
min(a,b)=((ab)^(-1) max(a,b))^(-1)
とも書けます。^(-1)は、-1乗するということで、要するに逆数を取れ、ということです。例えば、c^(-1)=1/cです。

ちょっと、今気がついたのですが、このやり方で、a>=1,b>=1のmaxを、0<a<1,0<b<1のみの範囲で定義されているmaxを使って定義しなおすことができますね。
max(a,b)=ab max(1/a,1/b)
つまり、0～1の区間でのみmaxが定義されていれば、正の全区間でmaxが定義できるということです。まぁ、これは、さすがに使わないと思いますが、
min(a,b)=-max(-a,-b)
の方は、心にちょっと留めておいてもいいのではないでしょうか。maxとminが両方出てくるような問題で、二つを同時に考えなくてよくなりますので。

回答No.6

scale--free

次の本を参考にしてみてはどうでしょう？
でも、ちょっと高いから図書館で借りるか、本屋で立ち読みしてみて、必要かどうか判断してみてください。

『差分と超離散』, 広田 良吾, 高橋 大輔 (著), 共立出版

お礼

みなさんわざわざこんな質問に回答ありがとうございました。締め切らせていただきます。

回答No.4

yumisamisiidesu

maxの定義
Ａ：順序集合
a=max(A)　:同値　a属すA and 任意x属すA,a>=x

一方supの定義もあります.
min,infは不等号の向きが違うだけで構造的にはmax,supと同じだと思います

あと四則演算との組合せについての法則もあると思います.

max(a)=a
|a|:=max(a,-a)

回答No.3

rabbit_cat

とりあえず、
a≦max(a,b) かつ、b≦max(a,b)
と、
a≦c, b≦c ⇒ max(a,b)≦c
だけで、maxを特徴づけることができそうですね。

ほかによく使うのに、結合則
max(max(a,b),c) = max(a,max(b,c))
なんかもありますが、
これは上の２つから簡単に証明できますね。

お礼

ご回答ありがとうございます。maxをきちんと分析したものは、あまり本を見ても載っていないので、こういう形でまとめて提示していただけると頭の中で整理がついて、記憶に残りやすくなります。よく覚えておきます。

回答No.2

betagamma

具体的に、maxをどこで使うのでしょうか？
自分は大学４年ですが、少なくとも、大学入試の時にmaxの演算で困ったという記憶はありません。
maxで困ったといえば、確率の問題で、確率変数X,Yと確率密度関数が与えられているときに、max(X,Y)の従う確率密度関数を答える問題ぐらいですかね。
このときは、おっしゃるとおり、
max(X,Y)<=t ⇔ X<=t かつ Y<=t
を使えば、書き換えられます。言われてみれば当たり前なのですが、突然言われるとちょっと思いつかないことがありますね。
でも、maxに関して、すこし思いつかないことといえば、これぐらいでした。もっと一般的な形で書けば、
max(a,b,c,d,...)<=t ⇔ a<=t かつ b<=t かつ...
といった形になりますね。

あと、maxに似て非なる数学の書法に、「max.」があります。「.（ピリオド）」がついているところが違います。これは、maximize（最大化）の略で、数理計画法とか線形計画問題などで出てきます。例えば、
max. z=x+y
s.t. x<=a
y<=b

は、
maximize z=x+y
subject to x<=a
y<=b
の略で、x<=a かつ y<=bという条件の下でz=x+yという関数を最大化せよ、という問題をあらわしています。ちなみに、この場合は、当たり前ですが、z=a+bになります。（xの最大値がa,yの最大値がbなので）

お礼

ありがとうございます。そうですか。あまり使わないと大学生の方に言われてほっとしました。他にも色々補足していただいて恐縮です。ちなみに大学二年でして、今微積分の一年の復習プリントであくせくしていまして、maxを使った不等式演算が出てきまして…。ちょっと心配になって質問させていただきました。どうもありがとうございます。これで次に進めます。

回答No.1

graduate_student

max(a,b)というのは，aとbのうちどちらか大きいほうを表しているだけですよ．

基本法則なんかないですよ．

補足

演算処理を行うときにわかってた方が処理しやすいと思ったので、知ってる方がいたら聞こうと思ったのですが…。
ないってことはないと思うんですよ。maxが記号として存在する以上、少なくとも基本法則を例のようにいくらか考えることができるはずですし、その演算のときに基本となる法則があったほうが処理しやすいはずです。ほとんど使わないのかもしれませんけど。