アステロイドの面積の出し方を教えて下さい

質問

積分の応用で、できると思うんですけど、いまいちわかりません。
どうやってだすんですか？

回答No.1

nanjamonja · ベストアンサー

アステロイドｘ＝a(cost)^3，ｙ＝a(sint)^3　(a>0)
の囲む面積Ｓならば
　　　Ｓ＝４∫（０からaまで）ｙｄｘ　　だから
　　　ｘ＝a(cost)^3で置換すると
　　　ｄｘ＝－３a(cost)^2・sinｔｄｔ
Ｓ＝４∫（π/2から0まで）a(sint)^3・－３a(cost)^2・sinｔｄｔ
＝12a＾2∫（0から2πまで）(sint)^4・(cost)^2ｄｔ
＝12a＾2∫（0から2πまで）(（sint)^4-(sint)^6）ｄｔ
＝12a＾2（I(4)―I(6)）
　　　I(ｎ)＝∫（π/2から0まで）(sint)^ｎｄｔとすると
　　　I(ｎ)＝（(ｎ-1)/ｎ）・I(ｎ-2)
　　　I(2）＝π/4より（2倍角の公式を使い積分）
　　　I(4)＝3π/16，I(6)＝5π/32
Ｓ＝（3πa＾2）/8　　　　　　　　　　　　（終）