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y = f(x) と y = 0 と x = a と x = b で囲まれる図形の面積が、∫[x=a…b] |f(x)| dx になる理由。 平面図形の面積は、数学では、 その図形をいくつかの長方形で覆ったときの長方形の面積の和の下限と その図形の中に長方形を詰め込んだときの長方形の面積の和の上限が 一致するとき、その共通の値 …として定義される。 ∫[x=a…b] |f(x)| dx をリーマン積分として定義するとき登場する 上方和、下方和が、それぞれ、「長方形で覆う」「長方形を詰め込む」 の一例となっているため、 面積が収束するならば、その部分列の極限である ∫[x=a…b] |f(x)| dx も収束して、両者の値は一致する。
その他の回答 (3)
- post_iso
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関数f(x)とx軸に囲まれる0～xまでの面積をS(x)とします。 面積の差 dS(x)=S(x+dx)-S(x) を考えると、dxが十分小さければ関数の高さf(x)×幅dx なので dS(x)=f(x)dx ⇒f(x)=dS/dx(x) なので、微分の逆操作である積分が面積となります。 ※数学の定義では、関数に囲まれた面積を S=∫fdx で定義する方法をとっています。
そもそも、面積とは？と考えたとき 面積＝積分だったので、積分を面積の定義にしたのです。
- banakona
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昔よんだ教科書を思い出すと凡そ次のような感じ。 関数ｆ（ｘ）とｘ軸とｙ軸と直線ｘ＝ｘ0で囲まれた部分の面積をＳ（ｘ0）とする。 この関数Ｓ（ｘ0）がｘ0をわずかに変化させたときにどう変化するかを調べたら、ｆ（ｘ0）になった。・・・（★） つまり、関数Ｓ（ｘ）のｘ0における微分係数は、元の関数ｆ（ｘ）になる。 これによりｆ（ｘ）を積分すると、面積を表す関数Ｓ（ｘ）になる。 ★のところは、挟み撃ちの原理を使ったりすれば証明できる。あと、Ｓ（ｘ）はｘ軸より上にある部分がプラス、下にある部分がマイナスとするといった約束事が必要になる。
