部分球の高さを求める

質問

半径aの球形の容器に水がv立方メートル入っています。
この水が作る部分球の高さhを求めたい。

v=π(4/3a^3-ah^2+1/3h^3)
までは解けたのですが、h=f(v)にしようとすると、
3次方程式で躓いてしまい、解けません。

回答No.3

at9_am

半球が、球面が接地するように置かれているとします。
接地面から高さ h の点を通る水平面でこの半球を切ったとき、その断面積は π(h-2a)h になります。
したがって高さhまでの部分球の体積Vは
V=∫π(x-2a)x dx = π(1/3 h^3 - a h^2)
になります。
V=v からこの三次方程式の解を求める事になります。＃２の方の指摘の通り、一般にはこの問題は解くことが困難です。

ところで、この問題の解 H は、必ず 0 と a の間に一つだけあります。したがって、V=g(h) は区間 [0,a] で逆関数を定義することが出来、
h = f(v) = g^(-1)(h)
と書くことが出来ます。

因数分解出来なければ明示的に解くことは難しいですが、必ずしも明示的に必要が無ければこれでも良いのではないでしょうか。

お礼

>必ずしも明示的に必要が無ければこれでも良いのではないでしょうか。
h=f(v)を導くところまで行きたいので、３次方程式を解くことに挑戦してみます。(涙)

回答No.2

kony0

なんとなくVは、「球体のうち水の入っていない部分の体積」のような気がしますが、あまり本質的ではないので・・・

結局おっしゃるとおり３次方程式になるでしょうから、一般式を求めるならカルダノの方法なり、一般的な数値解を求めたいならニュートン法とか、使うしかないのではないでしょうか？

もし、高校生向けの問題であれば、因数分解でhが求められるようなVが提示されているとかでないと、ちょっと辛いでしょうかね。

お礼

>一般式を求めるならカルダノの方法なり、一般的な数値解を求めたいならニュートン法とか、使うしかないのではないでしょうか？
やはりその方法しかないのですね。
簡単に解けそうで実はかなり解くことが困難な問題だということを実感しました。

回答No.1

ken_ken2

積分でとらえてうまくとくことはできないでしょうか。たとえば、部分球の上の面の半径をRとすると、
体積ｖを断面の円の面積の積み重ねと考えて、円の面積πr^2を0からRまで積分した値がvになるとおもうのですが、そうするとv=πR^3/3 なのであとはR^3=3v/πからhを求めると、、、、

いまいち自信がなくて、すいません。何かの参考にしてください。

お礼

回答ありがとうございます。
円の面積を積分して体積を出すところまでは自力で解けたのですが・・・
その先のhをvの関数にするところで詰まってしまったのです。