ラプラス方程式の解析解
電磁気学を勉強しているのですが,分からないことがあるので質問させてもらいます.
静電場内にある電荷が作る電位分布を示す方程式としてラプラス方程式(∇^2*V=0)があると思います.
ラプラス方程式とポアソン方程式の違いまでは理解できていると思います.
2次元のラプラス方程式は以下の式を変数分離法を用いて解くことで,直交座標系や球面座標系として考えることで,解析解が得られると理解しています.
(ここまではたどり着くことが出来ました)
(∂^2/∂^2x)V(x,y)+(∂^2/∂^2y)V(x,y)=0
分からないのは,ここから実際の電位分布を求める方法です.
具体的には,xy平面上の原点にポテンシャルV0がある場合,このV0による電位分布を求めることが出来ません.
直交座標系で考えると一般解は,A,B,C,D,kを定数として,次のようになると思います.
V(x,y)=(A*exp(kx)+B*exp(-kx))*(Csinky+Dcosky)
境界条件から未知定数を求めたいのですが,うまくいきません・・・.
原点にポテンシャルがあるので,x→∞でV→0,y→∞でV→0,x=0,y=0でV=V0が境界条件になると思ったのですが,y→∞で(Csinky+Dcosky)は0に収束しません.
境界条件の設定が間違っているのでしょうか?
数値解では原点にポテンシャルを設定している解説は見つけられたのですが,解析解では資料がなく,どうすればいいか困っています.
すみませんが,教えてください.