円の積分範囲の求め方

質問

現在、「積分」の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

問題は
２ｘ^2―２ｘｙ+ｙ^2＝９
の曲線によって囲まれた部分の面積を求めよです。

ｙについて解くまではできたのですが、積分範囲の求め方がわかりません。
答えはー３から３となっていますが、これはどのように求めるのでしょうか？

私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

(y-x)^2＝9-x^2...(1)
(y-x)^2≧0より
x^2≦9→|x|≦3...(2)
これから、曲線(斜めに傾いた楕円)のグラフの-3～3に存在するわけで、この範囲が積分範囲になりますね。
yについて求めたy1＝x+√(9-x^2)とy2＝x-√(9-x^2)で囲まれた面積を計算することになりますね。被積分関数はy1-y2＝2√(9-x^2)となることはお分かりですね。
(2)の-3～3の範囲は被積分関数の√内が正またはゼロの範囲となっていて、この範囲が積分範囲となっていることはお分かりですね。

お礼

info22さま、ご解答ありがとうございました。わかりやすかったです。積分範囲だけでなく、面積部分についてもご説明いただきありがとうございました。実はよくはわかっていませんでした。積分範囲は、根号内からも求めることができるのですね。ありがとうございました。

回答No.1

jupi-tor

yについての解の中に√9-x^2という部分がありますよね？

根号の中身は正、つまり9-x^2>0に由来しているものだと思います。

お礼

jupi-torさま、御回答ありがとうございました。
ｙについてといたときの根号内を元に求めるのですね。ありがとうございました。