場合の数

質問

nを自然数とする、正6n角形の異なる3頂点を結んで3角形をつくる。
鈍角三角形はいくつできるか？
真ん中から、2つに分ける、
左側だけ考える、
直径の片方を左側に1つずつずらしていくと・・・・
鈍角三角形の数は、
Σ(k=1,2n)(2n－k)
右側も同じことが言えるので、
2×Σ(k=1,2n)(2n－k)個(計算は省略)
正しいでしょうか？

回答No.1

kasabian · ベストアンサー

結論から言うと違っています。

真ん中から半分に分けて考えると、その半分に含まれる頂点の個数は3n-1個になります。鈍角三角形をABCとして、点Aを固定し、点Bを点Aから数えてk番目の頂点（ただし半分に分けた片側だけで考える）に取るとすると、点Cが取りうる頂点の個数は6n-k-3になります。点Bは点Aから数えて1～3n-1番目までの頂点上に取ることができるので、鈍角三角形はΣ(k=1,3n-1)2(6n-k-3)
個作れます。

次に、点Bを正6n角形のもう片側上に取ることも考えなければいけないので2倍する必要がありますが、△ABCと△ACBが重複するので更に2で割る必要があります。

最後に、点Aを全ての頂点上で考えなければいけないので6n倍しますが、ここでは三角形が3つずつ重複してしまうので3で割らなければいけません。

よって鈍角三角形の個数は、
2nΣ(k=1,3n-1)(6n-k-3)
=27n^3-27n^2+6n
となります。

文章だけで説明するのは難しいのでうまく伝わっているかわかりませんが…。

お礼

すいません、間違えて補足のとこに書いてしまいました。。

補足

返信ありがとうございました。
大体考え方は読み取れるので十分です。
ありがとうございました。