場合の数の問題です

質問

正１２角形の各頂点に１～１２の番号をふる。この１２頂点から４頂点を選んで四角形をつくると全部で12Ｃ4個つくれる。
（１）このうち一頂点が１であり、正１２角形とは辺を共有しないものはいくつあるか
（２）正１２角形とは辺を共有しないものはいくつあるか

（１）の解答
残り３頂点の番号をi,j,kとすると、（i＜ｊ＜ｋ）とすると、辺を共有しない条件は３≦i＜ｊ＜ｋ≦１１、ｊ－ｋ≧２、ｋ－ｊ≧２
すなわち、３≦i＜ｊ－１＜ｋ－２≦９
これを満たすi,ｊ－１、ｋ－２の総数は３～９の７個の整数から３個を選ぶ組み合わせの数であるから7Ｃ3＝35

（２）35×12÷4

(1)はわかるのですが(2)がわかりません。÷４の意味は全くわからないのですが、×１２も「i＜ｊ＜ｋ」なのになぜ１２頂点かけているのかがわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

頂点が１２個ありますから、ちょうど、時計と同じですね。

・１頂点が１である四角形は３５通り。

・次に、時計を３０°回転して、１だったところが２になるようにすれば、
　１のときと同じなので、やはり、
　１頂点が２である四角形は、３５個通り。

・次に、時計を３０°回転して、２だったところが３になるようにすれば、
　またまた１のときと同じなので、やはり、
　１頂点が２である四角形は、３５個通り。

・・・・・

よって、３５×１２個　という暫定の答えが出るるのですが、
たとえば、
頂点１からスタートする１３５７の四角形と
頂点３からスタートする３５７１の四角形と
頂点５からスタートする５７１３の四角形と
頂点７からスタートする７１３５の四角形は、同じ四角形です。
ですから、
３５×１２　を　÷４　しなければいけません。

＞＞＞「i＜ｊ＜ｋ」なのになぜ１２頂点かけているのかがわかりません。

それは、頂点１から書き始める場合だけの約束だと思ってください。
要は、右回りで描くか左回りで描くかの違いだけです。
上記の通り、時計の文字盤を回転することをイメージすれば、「×１２」が理解できるかと思います。

以上、ご参考になりましたら。

お礼

ありがとうございます。よくわかりました。

回答No.1

yumitsuki

「i＜j＜k」にこだわる必要はないと思われます。

「×12」の意味は、問(1)における「一頂点」の位置が1～12のどこでも良いから。つまり、「一頂点が1であり…」の四角形と、「一頂点が2であり…」の四角形と、…、「一頂点が12であり…」の四角形と、の全てをカウントする必要があることを意味しています。

「÷4」の意味は、同じ四角形を4回カウントしているから。例えば、四角形「1357」は、「一頂点が1であり…」の四角形としてもカウントされ、「一頂点が3であり…」の四角形としてもカウントされています。

以上、参考になりましたら幸いです。

お礼

ありがとうございます。よくわかりました。