立方体の頂点を3色で塗る場合の数

質問

立方体の8つの頂点を３色で色をつけるとき、回転、反転で同じになるものは同一視して、何通りあるか考えています。

向かいあう正方形の片方の塗り方、を考えると

　４頂点が同じ色・・・３_C_１ ＝３通り
　４頂点が２色で塗られて、３つが同じ色、２つづつ同じ色

・・・等々考えていっているのですが、場合の数が多すぎてわけが分からなくなります。

何か整理した考え方をアドバイス頂けると幸いです。

回答No.4

nag0720 · ベストアンサー

＞でも、この方法だと回転で同じになるものとか含まれていないですか？

もちろん回転、反転で同じになるものは数えないようにします。

６－１－１、５－２－１の場合の数え方を見てもらえば分かると思いますが、回転、反転で同じになるものは数えていません。

お礼

大変失礼しました。

大きな紙に系統的に書いてみることにします。

回答No.3

nag0720

１色や２色の場合は簡単なので、必ず３色を使うものとします。

色別の頂点の数の組み合わせは、
６－１－１
５－２－１
４－３－１
４－２－２
３－３－２
の５通り。

立方体をABCD-EFGHとします。

６－１－１の場合、
１－１の配置方法はA-B(隣り同士)、A-C(面の対角)、A-G(立方体の対角)の３通り
色の組み合わせは３通りなので、
３×３＝９通り

５－２－１の場合、
２－１の配置方法は、
２頂点の配置がAB(隣り同士)のとき、AB-C、AB-Hの２通り
２頂点の配置がAC(面の対角)のとき、AC-B、AC-E、AC-Fの３通り
２頂点の配置がAG(立方体の対角)のとき、AG-Bの１通り
色の組み合わせは６通りなので、
６×６＝３６通り

他も同様に、

４－３－１の場合、
３頂点の配置を決めてから、１頂点の位置を調べる。

４－２－２の場合、
２－２の４頂点の配置を決めてから、それを２－２に分ける組み合わせを調べる。

３－３－２の場合、
３－３の６頂点の配置を決めてから、それを３－３に分ける組み合わせを調べる。

というように考えてみてはどうですか。

とりあえず数えてみたら、重複や抜けがあるかも知れませんが、
６－１－１が９通り
５－２－１が３６通り
４－３－１が６０通り
４－２－２が４８通り
３－３－２が５４通り
となったので、計２０７通りとなりました。

お礼

なるほど！　頂点の配色で場合分けですか。
でも、この方法だと回転で同じになるものとか含まれていないですか？

回答No.2

MagicianKuma

私もNo1さんの考え方が良さそうに思います。トライしてみましたが途中で挫折しました。
しばらくは質問を閉じずにおいていただけたら、回答できるかもです。

回答No.1

B-juggler

すいません、補足要請です。

条件は「回転・対称は同じものとする」以外にはありませんか？

例えば、３色全て使わなければならないとか。

　＃一番楽そうなのは、隣同士が同じ色にならない（４色問題みたいなケース）

すいません、お願いします。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

ちょっとこのままヒント。

数え方が逆なのではないかとおもいます。

全ての頂点を同じ色に塗る。これは三つですね。

ある一点だけ違う色にする、これは　６通り（後は全て対称で）

・・・・・

意外とすんなりでるとおもうのですが。