2次関数と直線で囲まれた部分の面積

質問

2次関数と直線で囲まれた部分の面積の求め方を知りたくて検索してみたのですがよく分かりません…
求め方を教えて下さい

y=x^2-2x+1、y=2x+1を例に教えてほしいのですが…

回答No.3

oz-boshin · ベストアンサー

数IIの積分です。

積分による面積の求め方は、
それをはさんでいる２つの関数につき、上側をy=f(x)、下側をy=g(x)として、
x軸のaからbにおいて、(a<b)
∫(a→b)(f(x)-g(x))dx
で出します。

例を解くと、
この２関数の交点は、(0,1)、(4,9)ですので、
∫(0→4)((2x+1)-(x^2-2x+1))dx
=[x^2+x-1/3・x^3+x^2-x](0→4)
=[-1/3・x^3+2x^2](0→4)
=-64/3+32
=32/3

となります。計算ミスがないことを祈りつつ。

回答No.6

BO-BO-keshi

こんばんは！

面積を求めるときには、みなさんがおっしゃる通り積分を用いて計算できます。

アドバイスというか補足ですが、このタイプの面積は積分計算をしなくても簡単に出せる簡単な形の公式があり、かなり有用だと思いますので覚えておくとよいかもしれません。その公式というのは次のようなものです。

★★★★★★★★★★★★
２つの二次関数のグラフ（あるいは二次関数のグラフと一次関数のグラフ）によって囲まれる部分の面積は、２つのグラフの交点のｘ座標をα、β（α＞β）、二次の係数の差をａとすると、
ａ{(α－β)^3}/6
で表される。
★★★★★★★★★★★★　　…公式Ａ

例に挙げられている「y = x^2-2x+1、y = 2x+1で囲まれる部分の面積Ｓ」について計算してみると、

交点のｘ座標…連立方程式を解いてα＝4、β＝0。
二次の係数の差…1と0の差なのでａ＝1。（直線の二次の係数は0と思う）
なので、上の公式に当てはめて
Ｓ＝ 1*{(4-0)^3}/6 ＝ 64/6 ＝ 32/3

かみ砕いて話しましたが、この事はいくつかの有名な教材には

α
∫ａ(x-α)(x-β)dx ＝ －ａ{(α－β)^3}/6　…公式Ｂ
β

という形で書いてある事が多いように思います。
この形では、ぱっと見、なにやら使いにくそうですが、かみ砕くと公式Ａのように解釈することが出来ます。

だからといって、面積を求める問題でなくても公式Ｂが役立つシーンはあるのではと思いますので、「公式Ｂは面積を求める公式」とは思わない方がいいと思います。

余分なことを言ってたらすみません！

お礼

積分を使わなくても簡単に答えが出せるんですね。積分を習ってなくて困ってたので助かりました。
ありがとうございます。

回答No.5

hika_chan_

訂正：
間違い：－｛－1/6(4-0)^3=32/3・・・
正しい：－｛－1/6(4-0)^3｝=32/3・・・

回答No.4

hika_chan_

グラフを書くと、y=2x+1がy=x^2-2x+1の上を通っていることが明らかにわかるので、普通は2x+1-(x^2-2x+1)を計算した式を使って積分します。
しかし、よく見ると囲まれています。そして、２次式が使われているのでこの方法を使います。

交点を調べる。・・・x=0,4
式は、
-x^2+4x=0
-(x^2-4x)=0・・・xの符号は必ず＋にする。（１）
あとは、小さい方から大きい方を引きます。（一気に計算します）
－｛－1/6(4-0)^3=32/3・・・先頭のマイナスは（１）のマイナスです

数字を使わないと、∫[aからbまで](x-a)(x-b) dx
面積S＝-1/6(a-b)^3
になります。
注：囲まれているときだけ使えるので、中途半端なところで、とぎれているときには使えません。

回答No.2

hirokazu5

積分して面積を求めてください。
そして関数（この場合は２次曲線）でできる面積と、
直線でできる面積を引き算してください。

なお、「y=x^2-2x+1、y=2x+1を例に教えて…」というのは教えてgooのルール違反行為かと思います。

回答No.1

shkwta

二次関数を y = f(x), 直線を y = g(x) とします。

f(x)=g(x) を解いて、xを求めます。解が虚解か１個（重解）なら、もちろん面積０です。

解が２個あるとします。それを、x=a, x=bとします。a＜bとします。
a＜x＜bのとき、f(x)とg(x)のどちらが大きいかを考えます。

f(x)のほうが大きいときは、
h(x) = f(x) - g(x)

g(x)のほうが大きいときは、
h(x) = g(x) - f(x)

とすると、h(x)は２次関数となります。これをaからbまで定積分すると、面積Sが求められます。

S = ∫[a→b] h(x)dx