同値変形

質問

f(x,y)のyにg(x)を代入した式をh(x)とおくと,
f(x,y)＝0,y＝g(x)をみたすx,yが存在する⇔h(x)＝0をみたすxが存在する
どういうことでしょうか？
いまいちピンときません。具体例などを出してどういうことか説明していただけ無いでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.4

eatern27 · ベストアンサー

f(x,y)＝0,y＝g(x)
という連立方程式があったします。普通なら、この連立方程式を以下のように解きます。

f(x,g(x))=0のようにy=g(x)を代入して、yを消去してから、xだけの方程式にします。
この方程式を解いて、x=x1,x2,・・・,xnという解を得たとしましょう。(有限個である必要もないが)
y1=g(x1),・・・,yn=g(xn)とすれば、(x,y)=(x1,y1),・・・,(xn,yn)が連立方程式の解である。

「解が増える」というのは、
f(x,y)＝0,y＝g(x)の解ではないのに、上の「代入」を使う解き方では「解」として出てくる。つまり、(x,y)=(x1,y1),・・・,(xn,yn)の中に、連立方程式の解でないものが含まれている、という意味で使っています。

「解が減る」というのは、
f(x,y)＝0,y＝g(x)の解なのに、上の「代入」を使う解き方では「解」として出てこない。つまり、(x,y)=(x1,y1),・・・,(xn,yn)以外の、連立方程式の解がある、という意味で使っています。

(実際に解が増えたり減ったりするのではなく、計算上、解が増えたり減ったりしている、って事です)

(x,y)=(X,Y)がf(x,y)＝0,y＝g(x)の解である⇔Xがh(x)=0の解、かつ、Y=g(X)
を右から左に使うと、
x=x1,・・・,xnがh(x)=0の解なので、
(x1,y1),・・・,(xn,yn)は全て,f(x,y)＝0,y＝g(x)の解である、という事が分かります。
なので、解が増える事はない、って事です。

(x,y)=(X,Y)がf(x,y)＝0,y＝g(x)の解である⇔Xがh(x)=0の解、かつ、Y=g(X)
を左から右に使うと、
もし、(x,y)=(x[n+1],y[n+1])のような解を持てば、h(x)=0はx=x[n+1]という解をもつ事がわかります。これは、h(x)=0の解がx=x1,・・・,xnという解(だけ)を持つことに矛盾します。
なので、解が減ることはない、って事です。

＞すいません、どういう意味で、発言したのでしょうか？
＞なんのことを仰ってるのでしょうか？

ぃゃ、そんな深い意味はないんですが・・・ｗ
「数学を決める論証力」に同じような事が載っていた記憶があったので、そういえば「逆手流」を使える根拠だなぁ、と思って書いただけです。なので、あくまでも、
＞その逆手流が使える根拠でもありますね。
こっちがメインですね。

その前に書いた事は「逆手流」という言葉を出すための準備、かなぁ？そんな深く考えずに書いたので、あんま覚えていませんｗ

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

eatern27

#2です。

＞そのような記憶はないです・・・自信は無いが・・・・
あれ？載ってませんでしたか？逆手流の辺りに載っていた記憶がありましたが、勘違いだったのかもしれません。

すいません、#2の
＞例えば、
＞f(x,y)=0
＞y=g(x)
＞という連立方程式を解きたい時に、
・・・・・中略・・・・・
＞だからこそ、何も考えずに、「代入」という操作を行えるのですね。

の部分は、ちょっと違いますね。

＞f(x,y)＝0,y＝g(x)をみたすx,yが存在する⇔h(x)＝0をみたすxが存在する

を使う例としては、逆手流(分からなければ、「数学を決める論証力」など東京出版の参考書を見てください。別の参考書なら、別の名前で載っているかもしれません)ですね。

例えば、
「実数x,yがx^2+y^2=1を満たすとき、x+yの最大値・最小値を求めよ」
という問題は逆手流では、

x^2+y^2=1,x+y=k
を同時に満たすような実数x,yが存在するようなkの最大値・最小値を求めて解きます。

y=-x+kをx^2+y^2=1に代入して、yを消去すると、

「x^2+(-x+k)^2-1=0を満たすようなxが存在するようなkの最大値・最小値」を求めればよい、という事になります。

問題を解く事は本質ではないので、この後は省略しますが、

途中で、y=-x+kをx^2+y^2=1に代入しています。このように代入しても問題ない、という事の根拠が
＞f(x,y)＝0,y＝g(x)をみたすx,yが存在する⇔h(x)＝0をみたすxが存在する
ですね。

代入すれば、文字が減らせるので、それだけ考えやすくなります。実際、

「x^2+y^2=1,x+y=kを同時に満たすような実数x,yが存在するようなkの最大値・最小値」
「x^2+(-x+k)^2-1=0を満たすようなxが存在するようなkの最大値・最小値」
を比べれば、文字の少ない後者の方が考えやすいと思います。(まぁ、前者のままでも、xy平面とかを考えれば、解けますが)

一応、勘違いしていた部分ですが、補足にあるので、答えておきます。

＞なぜこれから、
＞「代入しても、解が増えたり減ったりする事はない、という事を保証しています。」
＞ということがいえるのでしょうか？

すいません。いえませんね。でも、
＞f(x,y)＝0,y＝g(x)をみたすx,yが存在する⇔h(x)＝0をみたすxが存在する
の証明を考えてみれば、

「代入によって、解が増えたり減ったりしない」という事が分かりませんかね。

つまり、
(x,y)=(X,Y)がf(x,y)＝0,y＝g(x)の解である⇔Xがh(x)=0の解、かつ、Y=g(X)
が成り立つので、
f(x,y)＝0,y＝g(x)の解を(x,y)=(X1,Y1),(X2,Y2),・・・,(Xn,Yn)としたら、h(x)=0の解はx=X1,X2,・・・,Xnという事が分かります。
(X2,X3などがh(x)=0の解にならない、という事もないし、X1,X2,・・・,Xn以外のX[n+1]などの解を持つこともない、ということ)

お礼

返信遅れてすいません。
具体例など、とてもわかりやすかったのですが、
＞(x,y)=(X,Y)がf(x,y)＝0,y＝g(x)の解である⇔Xがh(x)=0の解、かつ、Y=g(X)
が成り立つので、
f(x,y)＝0,y＝g(x)の解を(x,y)=(X1,Y1),(X2,Y2),・・・,(Xn,Yn)としたら、h(x)=0の解はx=X1,X2,・・・,Xnという事が分かります。
(X2,X3などがh(x)=0の解にならない、という事もないし、X1,X2,・・・,Xn以外のX[n+1]などの解を持つこともない、ということ)
申し訳ないのですが、ここのとこが腑に落ちないです・・・・
具体的にどこかというと、
＞f(x,y)＝0,y＝g(x)の解を(x,y)=(X1,Y1),(X2,Y2),・・・,(Xn,Yn)としたら、h(x)=0の解はx=X1,X2,・・・,Xnという事が分かります。

ここから、解が増えたり、減ったりしない、ということは私にはわかりません。どうしてそうなるのでしょうか？
かなり難しい質問になると思いますが、よろしくお願いします。

Ps
＞同じようなことが載っていたような記憶があるので、多分、これを読んでいての質問ですよね？
すいません、どういう意味で、発言したのでしょうか？
なんのことを仰ってるのでしょうか？
私が勘違いしてるかもしれません。

補足

まず、本題ではないのですが
＞＞そのような記憶はないです・・・自信は無いが・・・・
あれ？載ってませんでしたか？逆手流の辺りに載っていた記憶がありましたが、勘違いだったのかもしれません。

意味を勘違いしてました、私の今の質問を昔にしたことがある、、的な意味だと思ってました。すいません。
貴方の仰るとおり数学を決める論証力に載ってたものです。

本題については、礼のところに、書きたいと思います。
(ぱっと見、説明が難しそうなので、まず、上記のことをいいたくて・・・・

回答No.2

eatern27

＞ところで、この同値変形は有益なのですか？？(どんな問題に使われるのか)

＞f(x,y)＝0,y＝g(x)をみたすx,yが存在する
は2つの実数x,yが存在する、という主張で

＞h(x)＝0をみたすxが存在する
は1つの実数xが存在する、という主張です。

2つの実数が存在する、という条件を1つの実数の存在に帰着できるのですから、それだけ考えやすくなります。

例えば、
f(x,y)=0
y=g(x)
という連立方程式を解きたい時に、
y=g(x)をf(x,y)=0に代入して、yを消去します。すると、
f(x,g(x))=0
というxだけの方程式になります。
この方程式は必ずしも解けるわけではないですが、
f(x,y)=0
y=g(x)
のように式が２つ、文字も２つあるよりは、考えやすいでしょう。

f(x,g(x))=0を解いて、x1,x2,・・・,xnという解が出てきます。
そして、y1=g(x1),y2=g(x2),・・・,yn=g(xn)のようにy1,y2,・・・,ynを求めると、
(x1,y1),(x2,y2),・・・,(xn,yn)
が元の連立方程式
f(x,y)=0
y=g(x)
の解だといえます。

具体例としては、
f(x,y)=x+y-2=0
y=4x-3=g(x)
という連立方程式があった時に、
y=4x-3をx+y-2=0に代入して、x+(4x-3)-2=0より、x=1。
y=4*1-3=1
という風に求めますよね。

しかし、ここで、問題が残ります。
例えば、「両辺を二乗する」という操作を行うと、一般には解が増えますよね。
それと同じように、「代入する」という操作によって、解が増えることはないのでしょうか？
あるいは、逆に解が減ることはないのでしょうか？

＞f(x,y)＝0,y＝g(x)をみたすx,yが存在する⇔h(x)＝0をみたすxが存在する
という事実は、そのような事はない。つまり、
代入しても、解が増えたり減ったりする事はない、という事を保証しています。

だからこそ、何も考えずに、「代入」という操作を行えるのですね。

そういえば、以前に「数学を決める論証力」の質問をされてましたよね？
同じようなことが載っていたような記憶があるので、多分、これを読んでいての質問ですよね？
この参考書の中では、逆手流などと呼んでいたと思いますが、その逆手流が使える根拠でもありますね。

お礼

返信ありがとうございました。
http://okweb.jp/kotaeru.php3?q=1389272
あの時はお世話になりました。

本題に戻りますが、
とても丁寧に、わかりやすく説明してくださったので、
わかりました、
＞＞f(x,y)＝0,y＝g(x)をみたすx,yが存在する⇔h(x)＝0をみたすxが存在する
という事実は、そのような事はない。
なぜこれから、
「代入しても、解が増えたり減ったりする事はない、という事を保証しています。」
ということがいえるのでしょうか？

最後に
＞同じようなことが載っていたような記憶があるので、多分、これを読んでいての質問ですよね？

そのような記憶はないです・・・自信は無いが・・・・

回答No.1

Landolt

h(x) = f(x,g(x)) となりますよね。
つまり
　f(x,y) = 0, y = g(x) をみたす x,y が存在する
⇔h(x) = f(x,g(x)) = 0 をみたす x が存在する
ということですね。

具体的に
f(x,y) = x^3 + 3*x*y + y^3
y = g(x) = -x
としてみると、
h(x) = x^3 + 3*x*(-x) + (-x)^3 = -3*x^2
となり、
x = 0 (y = 0) のとき
f(x,y) = h(x) = 0
となります。

補足

f(x,y) = x^3 + 3*x*y + y^3＝0
と
y = g(x) = -x＝0
を満たすx,yはx＝0,y＝0(存在する)
h(x) = x^3 + 3*x*(-x) + (-x)^3 = -3*x^2＝0
を満たすx＝0が存在するということですね？

抽象的過ぎて、わかりませんでした。。
具体例を見るとすんなりわかりました、ありがとうございました。
ところで、この同値変形は有益なのですか？？(どんな問題に使われるのか)