生存率

質問

１年生存率が70.4％、２年生存率が44.8％、３年生存率が33.7％、４年生存率が27.0％、５年生存率が22.7％という病気があります。その患者が８年間生きている確率はいくらになるのでしょうか。数学のよくできる方、教えて下さい。

回答No.8

sudoufu

n年生存率とはその人がn年間生存できる確率という意味いなのかな？
そういった意味であるのなら
　　　 生存数　死亡数　各年の生存確率（n年生存数/n+1年生存数）
0年目　1000人　 296人　　704/1000=70.4%
1年目 　704人　 256人　　448/ 704=63.63%
2年目 　448人　 111人　　337/ 448=79.22%
3年目 　337人　　67人　　270/ 337=80.12%
4年目 　270人　　43人　　227/ 270=84.07%
5年目 　227人　　？人　　 ？/ 227=??.??%
というように表示出来、各年の生き残る人の割合いは年を追うごとに増えていることが分ります。
よって、この後各年の生存確率は84.07%以上であることが予想されます。
これを元に計算すれば求まるのではないのですか？

回答No.7

Ideasforlife

> なんせ、統計ですから
統計だからこそ、数学モデルが現実のデータに立脚しないといけないのです。

もしこれが演習問題か何かで、出題意図が分かれば、解法を与えることは可能ですが、ご質問の通りの意味ならば、やはり　答えは
　わからない　や　22.7%以下
というのが正解でしょう。それ以上のことは言えません。

> カプラン・マイアー法による計算
カプラン・マイアー法はイベントの発生時間のデータをもとに、生存曲線を求める手法ではないでしょうか。ところが、ご質問は、生存曲線が与えられ、それを外挿する計算が要求されています。
ですから、カプラン・マイアー法による計算　というのも　何か勘違いがあるように思えます。

回答No.6

noname#231526

#4 です。回答の補足というか追加をします。

　回答がまったくない段階で回答作成を始め、投稿し終わってから見たら、わたしの回答は#4になってまして（汗）、回答総数は5になってました（大汗）
　#5さんの意見に、強く同意です。

　わたしは、#4の回答で、一応「適切な」数学モデルというのを立てると、「数学としては」計算はできるということを示すのと、しかし、現実との兼ね合いが必要だと言うこととの双方を言いたかったのですが、皆さんの回答を見ると、数学モデルでの回答を書いたのは、こういう数学モデルだけの暴走を助長しかねない気もしました。統計学は特にこういう誤用が目立つ分野です。
　これを称して、わたしは、「新幹線で北京へ行く」と言ってます。
　そのココロは、「東京から北京まではＡキロ、東京から博多まではＢキロである。新幹線で東京から博多までＣ時間かかった。よって、東京から北京まで新幹線では、（Ａ÷Ｂ）×Ｃ時間で行ける」という計算の馬鹿馬鹿しさを表現しているつもりです。数学上の速度と距離と時間の意味上は正しく計算できても、現実には新幹線で北京へ行くことはできないのは明白です。
　別の例では、こういうのもあります。
　「この油絵を描くのに、一人で１年間かかりました。だから、３６５００００人で描けば0.0024時間＝8.64秒で描けます」。これだけ聞けば単なる笑い話ですが、実際には数学のこういう誤った応用も見かけるものなので笑うに笑えないですね。

　ということで、数学的モデルを仮定して計算できる、ということと、それが現実を表しているかということとは全く別問題である、ということを強調して #4の回答の補足といたしますm(_ _)m

補足

ありがとうございます。まったく皆様のおっしゃる通りなんですが、なんせ、統計ですから。カプラン・マイアー法による計算でいいんですが。何方か教えていただけますか。

回答No.5

housyasei-usagi

No.1です。回答に対する補足について。

＞統計は非常に重要です。
　それはそうだと思います。８年後の生存率の統計をとること自体有効だと思います。しかし，５年までの生存率で８年後の生存率を数学的に予想することに無理があると思います。
　勝手ながらここまで回答者の方々も同意されるかと思いますが。いかがでしょうか？

回答No.4

noname#231526

これは数学の問題なのですか？
　もし医学の領域でしたら、正確には、「実際に調査してみないと解らない」というのが科学的な答えです。
　挙げてあるデータから、８年生存率を計算するには、仮定をしなければなりません。その仮定が正しいかどうかが問題です。
　数学的モデルとして最も単純な仮定は、その病気による死亡率は、（発症後？手術後？の）期間に関係なく一定であるという仮定です。が、医学的妥当性は不明です。
　上記の仮定ですと、各期間（１年）ごとの死亡率をP（＝期間によらず一定）とすると、n 年後の生存率Q(n)=(1-P)^n という式で計算できます。
　後は、回帰モデルを使ってPを推定して、そのPを使って８年後の値を計算します。
　単純な直線回帰モデルを使うと、表計算ソフトで計算できますので、上記の関数が直線になるようにR(n)=Ln(Q(n))と置いて、R(n)を従属変数、nを独立変数として、今ちょこちょこっと回帰式を求めますと、
R(n)=4.42942859131795-0.277002795076988*n という式を得ましたので、
Q(n)=e^(4.43-0.277*n)という回帰式を得ます。
　これをもとにQ(8)を計算すると9.15くらいの値を得ます。
　これは計算の一例でした。
　仮定が、たとえば、各期間ごとの死亡率が年とともに変化していく（PはP(n)というnの関数）とすると、医学的モデルから、そのP(n)をまず作ることになります。当てずっぽうというわけにはいかないでしょう。
　さらに、たとえ計算上、それに基づく回帰式がn=1～n=5でいくらよく当てはまっていても、それをそのままn=8まで延長して考えていいのかどうか、という妥当性については、数学は何も情報を与えてくれません。とりあえず数学としては計算できても、医学としての妥当性には医学としての裏付けが必要となります。数字だけをいくらいじっても意味がありません。

回答No.3

hiru-an-don

「わからない」または「22.7%未満」と思います。

年を追うごとに生存率が下がっていることから、
縦軸を生存率、横軸を年とした反比例みたいなグラフが描けると思います。
しかし、各年の生存率は統計上の数字でしかないため
y=a/x+b
といった一次式であらわすことはできないと考えられます。そのため、６年目以降の数字は計算では出せないと思われます。

回答No.2

liar_adan

これは数学の問題ではありません。
数学的には、
「22.7％よりは少ない」
ということは言えますが、それ以上は言えません。

たとえば、(架空の話ですが)
「コレラにかかった人の1年生存率が50％」
とします。
これから2年後、3年後の生存率がわかるかというと、わかりません。
1年間死ななかったというのは、たぶん治ったと言うことだから、
2年生存率はおそらく50％より少し低い程度の数値でしょう。

一方、ある種のガンのように、長い間再発を注意しなければならないものもあります。

コレラの例は極端ですが、病気の種類によって性質が違い、
実際に測る以外には数値は出せません。

それでも、だいたいでいいのなら無理にでも出してみましょうか。
これら5つの数字を、重み付けして調和平均をとると、だいたい、
「1年あたり71％生き残る」
ということになります。
5年生存率の22.7％に、これを3回掛けると、
8年生存率は約8.3％、という数字が出ます。

繰り返しますが、この数字はあくまで「無理に出したら」であって、
数学的には最初に言ったこと以上はいえないことをご承知置きください。

回答No.1

housyasei-usagi

ある病気の生存率なんて，提示されているデータが過去の実績であって，確率でどうのこうの言う問題でないと思いますけど。

補足

もちろん、個々の人間にはきちんとあてはまりませんが、統計は非常に重要です。