地球上の２点間の距離

質問

メルボルン（東経１４５度、南緯３８度）とオスロ（東経１０度、北緯６０度）の距離を作図するにはどうすればよいでしょう？赤道の長さは４万キロです。sinやcosなどを使わずにコンパスや分度器を使ってです。どなたかよい案はないでしょうか？

回答No.9

puni2

ちょっと付け足します。
No.2:
>正距方位図法という手法で書かれた地図があります。
>これは地図上の２点間の距離を正確に表す為に作られたものということで、そのままスグに計測できると思います。
確かにその通りですが，2点のうち一方はその図の中心に来なくてはいけません。
図上の任意の2点間の距離を正確に表すことは（地球儀でも使わない限り）不可能です。
つまり，手元に，オスロ中心，またはメルボルン中心に投影された正距方位図法の地図があれば可能だということになりますが，じゃあどうやってそれを（三角関数を使わずに）作図するのか。
かえって難しい問題になりそうです。

No.1の回答は，「自信あり」とのことで，文体も自信に満ちていますが，残念ながら何度読み返しても理解できませんでした。
「北極を中心にした地図」は，何図法なのでしょうか。
「南極のところ」？　とすると，心射図法ではなさそうだ。南半球は投影されないから。
「半径分はなれたところに」？　どこを基準にして，どちらの方向に離れたところ？
「平行に」ってのは，たぶん2点を結ぶ直線に平行なんだろうけれど，「その長さを測れば」っていったいどこを測るのでしょう？
できれば，数学の答案を書くように丁寧に教えていただければ幸いです。

あと，前回の回答（No.8）の訂正。
「国土地理院のページはその後異動していますので」は，もちろん「移動していますので」です。

回答No.8

puni2

こんにちは，出遅れてしまいましたが私も混ぜてください。

「sinやcosなどを使わずに」とのことですが，きちんとやろうとしたらNo.5さんがおっしゃっているように，図学の問題になります。
最近では大学での図学というとCGが中心のようですが，私が習った頃はきちんと定規とコンパスを使ってかなり難しい作図をやっていました。
昔取った杵柄でやってみようとしたのですが…途中でつまづいてしまいました。
一応，こんなふうにやってみた，というやりかただけ書きます。
図の上下に2つ，同じ大きさの円を描きます。
上の円は北極から見下ろした図，下の円は赤道を真横に見る図です。
それぞれの図に，オスロとメルボルンをプロットします。
両者の経度の差は135°なので，たとえば上の図で中心から左方向にオスロを取ると良いでしょう。
メルボルンのプロットには，下の図の上端（北極）と下端（南極）を結ぶ楕円を書いてやる必要があります。
詳細は略しますが，とりあえずオスロとメルボルンが書けたところで，行き詰まってしまいました。
あとは，両点を通る大円の正射影になるように，どこか斜め方向にもう1つ円を描いてやって，その上で作図するとかなんとかすればできそうな気もするのですが…
やっぱり20年も使わないでいるとこういう問題って解けなくなりますね。
当時は，円柱と円錐が一部交わっている立体の光線とその陰，などというかなり複雑な図形もきちんと作図できていたハズなんだけどなあ。
何だか悔しいけど，仕方がありません。

三角関数を使うことは使うけれど，なるべく控えめに，という方法なら，No.5/7で書かれた方法のうち，最後の部分（ベクトルの内積）にcosが出てくるのは仕方ないので，前半の部分，つまり球面座標を直交座標に変換する部分を作図でやってみましょう。
やり方は，No.7を図に書いて計算すればいいわけです（あるいは，No.3の図の発想）。
いま，とりあえず地球の半径＝1とします。
たとえば，オスロの直交座標を求めるには，まず半径1（実際には10cmでも20cmでもいいですが，計算上1とします）の円を一つ描いて，地球をオスロを通る子午線で切った断面と見なします。
中心を通る直交する2直線を描き，x軸を赤道面，z軸を地軸とします。
中心から，x軸と60°で交わる直線を引き，円との交点のz座標をよみます。これがオスロのz座標。
次に，オスロのx座標を半径とする円を描きます。
この円の中心を通り直交するx軸・y軸を描きます。
動径OXを，x軸をスタートとして反時計回りに10°回転させます。
円との交点がオスロですので，ここのx，y座標を読みます。

メルボルンも同様です。
あとは，両座標の内積を求めると，それがcos(角AOB)になります。

ちなみに，全面的に三角関数を使っていいのであれば，二つの方法があります。
一つは，No.5/7で示されたように，いったん直交座標に変換する方法です。
No.7のやり方を，緯度・経度という用語を使って書き直してみましょうか。

ある地点の緯度をδ（北緯が正），経度をλ（東経が正）とします。
このとき，この地点の直交座標(x, y, z)と球面座標(1, δ, λ)の間には次の関係が成り立ちます。
x=cosδcosλ
y=cosδsinλ
z=sinδ

したがって，まず緯度δからzを求め，次にcosδ＝√(1-z)を第1・2式に代入して，経度λを用いてx, yが求まります。
(No.7の回答でr=1-z^2とありますが，r=√(1-z^2)ですね。）

ちなみに，実際に求めてみたところ，
オスロの(x, y, z)=(0.492…，0.0868…，0.866…)
メルボルンは(-0.645…，0.451…，-0.615…）
となりました。（以下，「…」の記号は省きます）
両者の内積＝-0.81178 より
∠AOB = cos^-1 (-0.81178) = 144.27°
2地点間の距離＝2πR×144.27÷360＝16027(km)
（ただしRは地球の平均半径，6370km）
となりました。

もう一つの方法は，球面座標のまま求めてしまうやり方です。
これは以前，別の質問に対して回答しましたので，そちらをご覧下さい。
「質問：緯度・経度からの距離計算」
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=249931
↑
ここでは，地球が球ではなく回転楕円体であることを考慮した計算方法も述べてあります。
ただ，末尾の参考URLに記した国土地理院のページはその後異動していますので，新しいURLを書いておきます。
http://vldb.gsi.go.jp/sokuchi/surveycalc/algorithm/
（ここの「2. 緯度経度から平面直角座標x,yおよび子午線収差を求める計算」と「3. 2点の平面直角座標x,yから測地線長および方向角を求める計算」を併用することになります）

こちらの方法を用いても，∠AOB＝144.27°という同じ結果を得たことを付記しておきます。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=249931,http://vldb.gsi.go.jp/sokuchi/surveycalc/algorithm/

回答No.7

at9_am

> では、a・bの求め方はわかりますか？|a||b|は地球の半径ですが。

aとbの座標は次のように求められます。座標系を前回と同じにとれば、
z=cosθ
からzが求まります。ただしθは（90－北緯)です。メルボルンのような難易であれば（90＋南緯)になります。
更に r=1-z^2 とおけば
x = r cosβ
y = r sinβ
となります。

これが出来れば内積は a=(x1, y2, z3)、b=(x2, y2, z3) とおけば
a・b = x1x2 + y1y2+ z1z2
で計算できます。

回答No.6

torahuzuku

今晩は。
＞その角AOBの大きさがどうしても分からないのです。求め方を教えてもらえませんか？　なんですが…。

この問題は一見すると複雑に見えますが、No4さんがお答えになられているとおりに考えるのが良いと思います。実際に適当な球でメルボルン、オスロにあたる位置に印を付け、弧AB(メルボルン、オスロ間の最短距離)が円周になるよう球を動かしてみると、弧ABの赤道との交点と中心O、A点とのなす角は38°(南緯より)になります。
また、B点と中心OとOから水平線(赤道)に対して立てた垂直線と弧ABとの交点となす角は30°(北緯60°より)になるかと思います。

結局、∠AOB=38+90+30=158°　になるのではないかと。ですのでコンパスと分度器、定規だけで作図は容易かと思います。間違っていたらごめんなさい。

補足

その方法でやると、北緯６０度の地点と南緯３８度の地点ならどんな経度であっても値が同じになってしまうのではないでしょうか？

回答No.5

at9_am

定規・コンパス・分度器を使って求めるとなれば、図学を用いることになります。↓の URL の実角のようにして角度を求めて弧の長さを計算することになるでしょう。

もっと容易なのは、内積を用いることです。地球の中心を原点、北極方向を z 軸、赤道上の東経０度の点の方向を y 軸、y軸とz軸に直交する軸をx軸とする座標系を考えれば、メルボルン・オスロの座標は求められると思います。それぞれの座標をa、bとおけば、ベクトルの内積の定義から
a・b =|a||b|cos θ
となりますので、なす角θを求めることが出来ます。

参考URL：

http://www16.tok2.com/home/katayama/descriptive_geometry/zugaku.html

補足

では、a・bの求め方はわかりますか？|a||b|は地球の半径ですが。

回答No.4

noname#48504

こんばんは。考え方だけを書きました。よろしければ参考にしてください。

メルボルン、オスロをそれぞれ点 A , B とし、地球の中心を 0 をすると、三点 A , B , O を通る唯一つの平面が出来ますね。その平面で地球を切断すると、点 O を中心とする円が出来ます。このとき、角 AOB の大きささえ分かれば、あとは地球の半径を使って計算して、弧 AB すなわち求める距離が出ますね。

補足

その考え方は質問をする前から分かっていたのですが、その角ＡＯＢの大きさがどうしてもわからないのです。求め方を教えてもらえませんか？

回答No.3

saru11

間違っているかもしれないので、参考程度にお願いします。
概要は、参考ＵＲＬの図を参照してください。
ここで注目してほしいところは、円から直線への変換様子です。これを応用すれば、うまく描けるのではないでしょうか？

参考URL：

http://www.k12.osaka-kyoiku.ac.jp/kyouzai/nami10.html

回答No.2

techbrain

正距方位図法という手法で書かれた地図があります。
これは地図上の２点間の距離を正確に表す為に作られたものということで、そのままスグに計測できると思います。(もしかしたら＃１さんの言っていることとかぶっているかもしれません。だったらごめんなさい。)

回答No.1

SCNK

北極を中心にした地図があります。その地図上で２点を含む線を引きます。南極のところで線ははみ出ますが、その地図の半径分はなれたところに平行にもう一本線を引きます。その長さを測れば両周りの距離が出ますね。