SINとＣＯＳのフーリエ変換（というか位相差の出し方）

質問

SINの各角度ごとの値：S（K）　（K＝１～３６０）
COSの各角度ごとの値：C（K）　（K＝１～３６０）
周波数とサンプリング時間とデータの数をｆ、ｔｓ、
X(K)=S(K)*COS(2π*K/360)　
Y(K)=S(K)*SIN(2π*K/360)
Σ（K＝１～３６０）X(K)=X
Σ（K＝１～３６０）Y(K)=Y

ATAN(Y/X)=SIN関数の位相　になると今、思っています
そしてS(K)の所をC(K)に変えればCOS関数の位相が出ると思っています。
そして二つの関数の位相差は９０度のはずですが
二つとも-９０度ぐらいで位相差はほぼ０になってしまいます。どこが違うのでしょうか？

回答No.2

LCR707 · ベストアンサー

こんにちわ。
　以前、私はeva2015さんの「位相差の求め方」という質問に対して、
『２つの信号を
　a(t) = A cos(ω0t + θa)　　・・・(1)
　b(t) = B cos(ω0t + θb)　　・・・(2)
としたとき、ω0が既知なので、
　Xa = (1/T)∫(0～T) a(t)exp(-jω0t) dt (ただし、T=2π/ω0)　・・・(3)
　Xb = (1/T)∫(0～T) b(t)exp(-jω0t) dt　　・・・(4)
のように、ω0でのみフーリエ変換すると、Xa、Xb は複素数なので
　arg(Xa) = θa
　arg(Xb) = θb
になり、位相差は
　θa - θb = arg(Xa) - arg(Xb)
で求まります。』
という意味の回答をしました。さらに、これを離散的に演算する場合は
　Xa = (1/N)Σ(k=0～N-1) a(k)exp(-jω0・ts・k)　　・・・(5)
というふうにするという説明もしました。
　実は、(3)(4)(5)の式は、たたみこみ演算と言います。今後はたたみこみ演算という名称で質問をされたほうが、誤解が無くて良いだろうと思います。

　さて、今回の質問で、Sk = 2π*k/360 とすれば、sinに対する離散たたみこみ演算は
　Xs = Σ[K=1～360]sin(Sk)cos(Sk)
　　= Σ[K=1～360]2sin(2Sk)
　　= 0
　Ys = Σ[K=1～360]sin(Sk)sin(Sk)
　　= Σ[K=1～360](1-cos(2Sk))/2
　　= 180
になるので、
　ATAN(Ys/Xs) = ATAN(∞) = +π/2 または -π/2
になるはずです。もっとも、ここは
　ATAN2(Ys,Xs) = +π/2
という、引数が２個の関数を使って、４象限の答えを得たほうが良いと思います。（そういう関数がサポートされていればですが）

　次にcosに対するたたみこみは、
　Xc = Σ[K=1～360]cos(Sk)cos(Sk)
　　= Σ[K=1～360](1+cos(2Sk))/2
　　= 180
　Yc = Σ[K=1～360]cos(Sk)sin(Sk)
　　= Σ[K=1～360]2sin(2Sk)
　　= 0
になるので、
　ATAN(Yc/Xc) = ATAN(0) = 0 または π
になるはずです。従って、結果だけを比べるのではなく、途中の X や Y の値がどうなっているかを確認されたほうが良いと思います。

回答No.1

CAW

単純に言って、フーリエ変換と言うのは周波数スペクトルですから
位相が違っていても同じ物と言うことになります。
それはもちろん位相が違う並と言うのは別物ではあるのですが
フーリエ変換の結果としてはその周波数のエネルギーの分布ですから
その時点での計測結果としては位相の違う存在があったとしても
ベクトルが合成されたエネルギーのスペクトルが残るだけです。