長寿の確率は？

質問

ご近所に１０６歳の、県一番の高齢者がいます。人間、１０６歳まで生きれる確率はどれくらいなんでしょうか？
計算方法も教えて下さい。

回答No.9

solla

#7 です。ここで議論をするつもりはありませんし、おそらく質問者さんもそこまで複雑な話を望んでいるわけではないと思いますので、あと一言だけ、回答ではなく参考までに読んでいただければと思います。これ以上の投稿は差し控えます。

「人間が106歳まで生きる確率」というのはそれ自体が定義です。
この場合、公理的確率論によれば「人間が106歳まで生きる」という事象を含む標本空間 X のボレル集合体 B 上の測度 μ(Ai)、( Ai ∈ B ) のうち、確率の公理を満たすものが「確率（確率測度）P(Ai)」ですから、「人間が106歳まで生きる確率」と言う時にはこの確率（確率測度）空間 ( X, B, P(Ai) )を定義している事になります。もちろん「確率」という言葉を日常的に用いるときに公理的確率の定義で考える人はほとんどおらず、通常は経験的確率に基づく意味での直感的に解りやすい「確率」として言っているわけです。そしてベルヌーイの大数の法則によりそれが妥当であることが示されるわけです。

同様に「 k 歳まで生きた人が k + 1 歳までに死亡する条件付確率 Dk 」が“定義され”ます。生命表における k 歳の死亡率は推測統計学的な意味で Dk の推定値になっています。従って、 k 歳まで生きた人が k + 1 歳まで生存する条件付確率（の推定値） = 1 - Dk であり、 K 歳までの生存確率（の推定値）は Π ( 1 - Di), ( i = 0 to K-1 ) となります。ここで得られる数字は紛れもなく「確率」であって、問題になるのはこれが確率なのかどうかではなく、生命表の前提となる「 Dk の推定精度」「 Dk が今後も一定という過程の妥当性」といったことです。そしてこれらを現実的制限として認めた上で、データから現実的に得られる最良…とまでは言わなくてもある程度妥当性を持った確率の推定値であると考えても良いのではということです。平均寿命とか保険料の算定の話は、生命表を基にした数字が既に現実的意味を持たせて日常で利用されており我々もそれに意識的にせよ無意識的にせよ馴染んでいる、ということを示すために例として挙げたまでのことです。

ちなみにコイン投げにしろサイコロ振りにしろ、それを現実に「幾らでも好きな回数だけ試行する」ことはできません。コインを∞回投げて大数の法則を確認した人はいませんし、これからも現れません。すべて思考実験に基づくという意味では同等です。今回の場合も、N 人の新生児を追跡して、そのうち n 人が106歳まで生きていたとし、106歳まで生きる確率 = n / N として N → ∞ の極限をとる思考実験により「経験的確率」を“考え”られます（生命表との違いは推測の基礎となるデータがコホートデータなのか断面データなのかということです）。コインを N 回投げて、そのうち n 回が表だったとし、表がでる確率 = n / N として N → ∞ の極限をとる思考実験により「経験的確率」を“考え”るのとまったく同等です。

理論的確率というのは、例えば数学的に完全に等方的な正6面体を振れば、各面の出る確率は理論的に1/6になると言えますが、実在のサイコロではそのサイコロの各面の理論的確率を具体的数値として出すことは不可能です（良くできたサイコロなら“概ね”1/6になると推定はできますが）。それと同じ意味で「人間が106歳まで生きる」理論的確率を具体的数値として出すことが不可能だというのは私も同意します。おそらく #2&#5&#8 さんはこの質問の回答としてそういう意味でおっしゃっているのだと思います。ただ「確率」自体は上述のように定義できて、データに基づき統計的に推測することは可能です。数学的に理想化された事象ならともかく、現実の事象で理論的確率を具体的数値で出せることはないと思いますので、「（現実の事象である）○○の確率は？」と訊かれれば一般的には、データに基づいて或いは数学的に理想化された状況からの類推でその確率を推定できるか？できるとすればどのくらいの値になるか？というふうに捉えるのではないでしょうか。この質問の場合、数学的に理想化された状況というのも考え難く、類推はできませんので、私（と #1&#3、#4、#6 さん）はデータからの推測可能性をこの質問の回答としたわけです。#2&#5&#8 さんとはその辺りの解釈の違いがあったのではないかと思います。

なんかいろいろ書いていたら当初の予定よりかなり長くなってしまいました。失礼しました。

回答No.8

ken1tar0u

#2&#5 です。#7 さんのコメントを受け、改めまして、先に質問者さんへのお答えを（議論で混乱させては申し訳ないので）。

感覚的にある程度納得の行く（雑談などで話題にしても構わないレヴェルの）「確率」としては、#4 方式で算出していいでしょう。都道府県名、「人口」、「統計」で Web で検索すれば公的な資料が見つかると思います。

#5 に書いたとおり、こうした計算結果が無意味と考えているわけではありません。とは言うものの（#7 さんの御説明に異を唱えるわけではないのですが）、やはりこれを「確率」と呼ぶことには違和感があります。
以下、#7 さんのコメントを読んで考えたことを書きます。（応用数学でなく）純粋数学をかじった者としての個人的感想です。
(1) 大数の法則の適用可能性について
(2) 平均寿命や保険料に生命表を適用することついて
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(1) 大数の法則の適用可能性について
ベルヌーイの大数の法則（定理）は、大雑把に言うと「理論的確率（数学的確率）に経験的確率（統計的確率）が収束する」となるでしょう。
大数の法則は一般にはコイン投げやサイコロの例で説明されることが多いようです。コイン投げで言えば、理論的確率 1/2 に対し、試行を繰り返せば（表が出た回数）/（コインを投げた回数）がどんどんその値に近づく、といった塩梅です。
（ここまでで #5 を振り返ると、私は「経験的確率」は数学で言う確率ではない、と主張したことになりますね。）
しかしながら今回の「106歳まで生きる理論的確率」なんて定義できるのか？ と自問しました。また「経験的確率」にしても、コインやサイコロと違って「幾らでも好きな回数だけ試行する」訳には行かないので、今回の問題とは概念が異なるのではないでしょうか？ 何となく生命表などの統計量が「経験的確率」みたいな気がするので、ある程度広い範囲の調査結果を理論的確率の十分な近似値と見なそう、というのは確かに思いつくのですが、そもそもこの問題に対する「理論的確率」が定義されていない以上、大数の法則を適用する前提が満たされていないと思います。
まあ、理論に拘りすぎた考え方なのかも知れません。統計量をベースにそれっぽい値が出せることに異論はありませんので、(2) に続きます。

(2) 平均寿命や保険料に生命表を適用することついて
平均寿命は「これこれの方式で算出した統計情報」として納得の上で見ますし、保険料の算出にあたっては現実的な計算の基礎だと認めて契約します。保険料の計算については、どうせ「数学的に」正確な算定などできないので適当なところで現実解を出すしかなく、それは客から見ても保険という商売を成り立たせる程度の適切さは満たしている、という感じです。
これは #5 で言いたかった「確率という言葉の厳密な定義」とは無関係です。普通、平均寿命・余命の資料や保険の契約書に「確率」という言葉は使われていないと思いますので。

回答No.7

solla

> 数学的に言うと、統計上の「割合」であって、「確率」ではありません。

数学的に言うと、サンプルが十分大きければベルヌーイの大数の法則により統計上の「割合」はある値に収束し（経験的確率）、これは理論的確率に一致します。

#4さんがおっしゃったのは「生命表」と呼ばれる方法で、理論的にも十分な根拠を持っています。
例えば厚生労働省は国勢調査の結果を基に5年毎に日本人の生命表を作成、公表しています（簡易生命表は毎年）。ニュースなどでも採りあげられる「平均寿命（0歳時の平均余命）」はこの生命表により算出されたものです。同じ方法で世界各国でも生命表が作成され、平均寿命の国際比較が可能になっています。またこの生命表から得られる情報は国の施策にも活かされています。
他にも各生命保険会社は独自に作成した生命表の情報を基に（もちろんそれだけではありませんが）保険料を算出しています。生命表から得られた数字を実質的に被保険者がある年齢まで生存する確率とみなして利用しているわけです。

もちろん「生命表」で得られた数字は各年齢における死亡率が変わらないという仮定をおいています。戦前～戦後の急速な死亡率の低下時期ではこの仮定も許容できるものではありませんでしたが、現在では各年齢の死亡率は安定化傾向にあり、あながち的外れな数字ではありません。

皆さんは平均寿命の話をされる時に「それは今後の死亡率が変わらないことを仮定して出した数字だから意味が無い、単なる数字のお遊びだ」と言って一蹴しますか？　生命保険に加入するとき「その保険料の算定方法は現実的でない仮定を含んでいるので承諾できない」と言って保険会社に文句を言いますか？

生命表方式で算出した106歳まで生存する「確率」は十分意味のある数字であり、質問者さんを含め我々が「確率」として考え得るものだと思いますが、いかがでしょう。

回答No.6

he-goshite-

＃２＆＃５さんおよび＃４さんのお説もっともです。
確率という言葉を一般人的に無定義のままいい加減な意味に使えば，しかも数値も厳密でなくても大体の目安がわかればよいことにして，
県民の人数を２００万人（１０６年間変化無し）として，１０６歳の人は県内で１人だけですから，
１０６歳まで生きられたのは，１０６年前に生まれた２００万人のうちの１人だけ。すなわち１０６歳まで生きる確率（確立ではありません）は，だいたい２００万分の１
という程度でどうですか？

質問者さんの知りたいことに対してはこの程度ではだめですか？あるいは世界中の人間の統計数値で計算しないと満足できませんか？

回答No.5

ken1tar0u

#2 です。#1 さんが #3 で補足されていらっしゃいますので、改めて「確率」という用語について確認しておきます。
（#1 さんや #4 さんの答が無意味だということではありません。それぞれに意味のある数字が算出されます。）
#3 方式で出てくる値は、数学的に言うと、統計上の「割合」であって、「確率」ではありません。また #4 さんの御回答にある計算も意味のあるものですが、やはり厳密な意味での「106歳まで生きる確率」ではありません。もし統計データをもとに件の確率を出そうと思うなら、#4 さんの結果に更に「現在の統計結果が N 年後に通用する確率」や「その確率が任意に選んだある人に適用できる確率」などのパラメータをかけていくといった、まさに数字の遊び的な処理になってしまいますね。

回答No.4

peror

あなたの県に地域を勝手に限らせていただいて、話を進めます。
　母集団をその県の現在ご存命の方にするのではありません。１０６年前の１８９９年にその県で生まれた方の人数にします。この１００年に戦争や災害があり、１００年前では衛生状態は今より悪く乳児死亡率が、今とは比べ物にならないくらい悪いのです。同じ時代をほぼ同じ地域で生き抜いた人を対象にする必要があります。
　現在１０６歳の人数÷１８９９年の出生数　です。

　現在の環境が全く変わらないとして、今年生まれた子供が１０６歳まで生き残る確率は計算できます。各県で各年齢ごとに算出している死亡率があります。k才の死亡率をDkとすると生存率は１-Dkです。これを０才から１０５才までかければいいのです。
　２０才の人が１０６才まで生き残る確率は、２０才から１０５才までの生存率をかければいいのです。
　１００年も環境が変わらないことはないと思うので、数字の遊びになってしまいますがね。

回答No.3

noname#16529

補足です。あくまでその中での確立です。
大げさな話１０６歳の人が１人暮らしだとしたら（実際は不可能だろうが）その家で見たら１００％になりますから。
出来るだけ正確な値を知りたければ全体の数値を大きくしてデータを正確にする必要があります。
＃２さんが言ってるようなランダムに１人選んだとき、その人が １０６ 歳まで生きる確率は求めるのは無理だと思いますが，１０６歳まで生きている人は全体の何パーセントかは上記の方法で求める事が出来ます

回答No.2

ken1tar0u

まだあまり深く考えたわけではないのですが、「計算できない」というのが答ではないでしょうか。
まず問題の表現をもう少し厳密にしてみますと、きっとこんな感じになるでしょう：

きぱじゃま県に住む人をランダムに１人選んだとき、その人が 106 歳まで生きる確率は幾らか？

選ばれた人の年齢によって、平均余命が違います（10 歳の人の平均余命が 65 年でも、20 歳の人の平均余命が 55 年というわけではない）ので、少なくとも年齢によって確率の方も変わってきます。
計算のベースになる統計を取る地域をきぱじゃま県に決める科学的根拠もありません。ちゃぱじゃま市でも良いでしょう。しかし統計を取る地域を変えれば平均寿命や余命も変わってきますので、やはり確率も変わるでしょう。
また、#1 さんのお答えに従うと、県の代わりに市で統計を取れば確率は数倍から数十倍に上がってしまいます。そういったことを考えていくと、最初の問いを正確に表現するような「確率」の定義は不可能、というのが結論になると思います。

回答No.1

noname#16529

確立は全体分のその事象なので，県での確立を調べたかったら県の人数分の１０６歳まで生きている人数でいいんじゃないでしょうか？