e^π＝（－１）＾（－i）からπ＾eを計算できますか？

質問

タイトル通りなのですが、特に考え方を初学者向けにご説明いただけるとありがたいです。よろしくお願い申し上げます。

回答No.2

toranekosan · ベストアンサー

ln(e^π)=π=ln((-1)^(-i))=-iln(-1)

なので、π^e=(-iln(-1))^e

と計算できますけど。

e^ix=cosx+isinx
e^iπ=-1
iπ=ln(-1)
π=(-i)ln(-1)
e^π=(-1)^(-i)

という表記を認めた書き方なら、上の回答で正しいかな。

お礼

ご教示どうもありがとうございます。勉強させていただきます。

回答No.3

pyon1956

#2さんの仰る、
＞という表記を認めた書き方
というところが味噌なのですが、実は複素関数としての対数関数は多値関数なので、値が一意に決まりません。
なので結局これは無意味になると思います。

なお、この場合複素数で表現するのは何を目的にしているのか不明です。
数学はそういう表現もできるからしてみよう、というようなものではありません（研究過程でやってみる、ということはありますけど、それは全く根拠なしにやってみるのではなく、それなりの理由はあるものです）。

ということなので初学者向きもなにも、そもそもこういう表現ができるからといって計算できそうな根拠も何もありません。

お礼

大変ためになるご教示でした。厚くお礼申し上げます。

回答No.1

adinat

a^b=c^dという関係があっても、b^a=d^cとはならないのです（極々まれに偶然なることもあるけれど）。したがってe^πが(-1)^(-i)とかけるからといってπ^eの別の表記が得られるわけではないのです。それにそもそもこれは単なる実数であって、計算しようと思えば計算機でいくらでも詳しい値を計算することができます。ちなみにπ^e=22.4592…、e^π=23.1407…でe^πの方が若干大きいですが、このことを示すだけなら高校生の微積分の問題レベルです。それから解析数論で、π^eとe^πのどっちかは有理数か？などという面白そうな問題も聞いたことがあります。結果は知りません。

お礼

ご教示有難うございます。単なる実数が虚数単位のべきであるというのが私には神秘的だったのですが・・・勉強させてください。