ピタゴラス数にからんだ整数問題
以下の問題を一応証明したのですが、論述に自信がありません。入試の採点でつっこまれそうなか所を指摘して欲しいです。（京大志望です）
自然数 a，b，c について，等式 a^2+b^2=c^2 が成り立ち，かつ a，b は互いに素とする。このとき，次のことを証明せよ。
(1) a が奇数ならば，b は偶数であり，したがって c は奇数である。
(2) a が奇数のとき，a+c=2d^2 となる自然数 d が存在する。
(1)
a,bをともに奇数とすると
i,jを任意の自然数として
a=2i-1
b=2j-1
とおける。
すると、
a^2+b^2=(2i-1)^2+(2j-1)^2
=4(i^2+j^2)+4(i-j)+2=c^2
よってcが奇数であるときc^2も奇数となるからcは偶数。
よって
c=2k
とおく。
すると、
0=a^2+b^2-c^2
=4(i^2+j^2-k^2)+4(i-j)+2≡2(mod.4)
となって不合理。
よってa,bがともに奇数とはなり得ない。
よってaが奇数ならばbは偶数以外ありえない。
(2)
m,n（m＜n）を自然数として
a=n^2-m^2
c=n^2+m^2
とおく。
（a,cはともに奇数よりn,mのうち一方は偶数で一方は奇数）
以下題意をみたす任意のa,cがこのようにあらわせることを示す。
上の式をn^2,m^2について解くと
n^2=(c+a)/2
m^2=(c-a)/2
となる。
よって
n^2m^2=(c^2-a^2)/4=b^2/4
よって
b=2mn
となる。
これはbが偶数であるという(1)に矛盾しない。
よって上のようにa,b,cを表現することに不合理はない。（ただしm,nは互いに素とする。でないとa,b,cが互いに素であるという仮定に反する）
またこれより題意をみたすとき
a+c=2n^2
よって題意は示された。
(2)のa,cがm,nであのように表現できるという証明で、とりあえず矛盾はなさそうだからＯＫと言うような論法になってしまっている気がするのですが…
どうでしょうか？
