多数の針の先端に加わる電界の強度について

質問

多数の針の先端に加わる電界の強度を求めたいのですが、どうやればいいか全くわかりません。針が一本なら専門書等でわかりますが、針が複数となると新しい影響が現れると思いますが、それがどういうものかもわかりません。何か良い専門書等はないでしょうか。

回答No.2

guiter · ベストアンサー

＞この式の変数x、y、z、a、b、は何を表しているのかと
＞何の式で導いたのか教えてもらえますか。
garden2001 さんが欲している情報かどうかわからないのですが、
今は、より簡単な状況を考えてみました。

もう少し状況を詳しく書きます。（ｘｙｚは３次元直交座標系の変数です。）
　針はすべて等電位で、＋ｚ方向を向いている。
　針の先端はすべてｘｙ平面に平行な平面上にそろっている。
　ｘ方向には -∞＜x＜∞ の範囲で等間隔 a で整列している。(…,-2a,-a,0,a,2a,…)
　ｙ方向には -∞＜y＜∞ の範囲で等間隔 b で整列している。(…,-2b,-b,0,b,2b,…)
というような配置です。
絵で見ると、
　. . . . . . .
　. . . . . . .
　. . . . . . .
　. . . . . . .
　. . . . . . .
のような感じです。

このような状況であるなら、電界Ｅ(x,y,z)は x,y に対して周期的になっています。
つまり、ｘ方向に +ka(kは整数) だけ平行移動した場所での電界Ｅ(x+ka,y,z)を考えると、
　Ｅ(x+ka,y,z) = Ｅ(x,y,z)
になるはずです。このことから変数ｘは
　Σ( An*cos(2nπx/a) + Bn*sin(2nπx/a) )
の形で入ってくることがわかります。(Σは自然数nの無限和、An,Bn は定数)
さらに、今は針の配置をｘ＝０で対称にしてあるので電界はｘの偶関数になります。
したがって、sin（奇関数）の項は消えるので
　ΣAn*cos(2nπx/a)
のようになります。（No1 の回答では係数Anを忘れていました。）
ｙも同様に考えると、結局
　Ｅx(x,y,z) = (ΣA1n(z)cos(2nπx/a))*(ΣB1m(z)cos(2mπy/b))
　Ｅy(x,y,z) = (ΣA2n(z)cos(2nπx/a))*(ΣB2m(z)cos(2mπy/b))
　Ｅz(x,y,z) = (ΣA3n(z)cos(2nπx/a))*(ΣB3m(z)cos(2mπy/b))
くらいには解の形を制限出来ることになります。

No1 の書き方は少し不正確でしたので表現を変えました。
m,n = 0,1,2,… で、A1n などはｚのみの関数（ｘｙに関しては定数）です。
Ｅx,Ｅy,Ｅz などはそれぞれ点(x,y,z) における電界のx,y,z方向成分です。
あとは、z →＋∞ で Ｅx,Ｅy → 0 ですから、
　lim(A1n(z))=0
　lim(A2n(z))=0
　lim(B1m(z))=0
　lim(B2m(z))=0
になります。（ｚ→＋∞の極限をとっています。）

garden2001 さんの欲している状況が電磁気の演習問題のような
理想的な状況とは思えませんが、参考になれば幸いです。

お礼

丁寧なご説明に感謝しております。ありがとうございました。もう1つ聞きたいのですが、針の先端の座標は、xy面(x軸y軸で構成される面)上と考えてよろしいのでしょうか。

回答No.4

guiter

＞z = z1 の位置に金属壁があると考えると
＞教えていただいた式はさらに簡単になるのでしょうか。
簡単とは言えないかもしれませんが、もう少しきつい制限をかけることが出来ます。
今までは、直接電界を求めていました。
使った条件は変数ｘ、ｙに関する周期性だけです。

私が考えようとしていたのは電界ではなく
静電ポテンシャルを求めるということです。
この場合、ｘｙの周期性だけでなく z=z1 で等電位になっている
という条件を加えることが出来ます。
静電ポテンシャルφを求めることが出来れば電界は -∇φ で出ます。

少し訂正です。
No2 の回答での
＞あとは、z →＋∞ で Ｅx,Ｅy → 0 ですから、
＞　lim(A1n(z))=0
＞　lim(A2n(z))=0
＞　lim(B1m(z))=0
＞　lim(B2m(z))=0
＞になります。（ｚ→＋∞の極限をとっています。）
は間違いですので無視してください。
無限遠でも電解は０とは限らないですね。

回答No.3

guiter

＞針の先端の座標は、xy面(x軸y軸で構成される面)上と考えてよろしいのでしょうか。
この解の形は、ｚについて何も制限してませんので自由に選ぶことが出来ます。
したがって、ｘｙ平面と考えても結構です。

もしよければ、もう少し状況を詳しく補足していただけませんか？
例えば、z = z1 の位置に金属壁があるなどのように
針の周囲のどこかに等ポテンシャル面があれば、
境界条件から静電ポテンシャルを求めるというアプローチでも
考えてみようと思いますので。

補足

z = z1 の位置に金属壁があると考えると教えていただいた式はさらに簡単になるのでしょうか。

回答No.1

guiter

このような特殊な状況だとなかなか専門書にも載ってないかもしれません。
針が１本の場合でも易しめの電磁気の教科書には載ってないですからね。

多数の針の配置や電位などがわからないので何とも言えませんが、
方向がばらばらで電位もそれぞれ異なるのであれば、
計算機を用いて数値的にやるしかないのではないでしょうか？

「すべての針が等電位でｚ方向を向き、ｘ方向、ｙ方向には等間隔で無限遠まで広がっている」
くらいの状況なら、求める電界を
　Ｅ(x,y,z) = E(z)*(Σcos(2nπx/a))*(Σcos(2nπy/b))
程度には制限できますが、それでもなかなか難しそうです。

ただし、私は物理を専門にしていますが、
電磁気学について深い知識を持っているわけではありません。

お礼

質問に答えていただき大変感謝しております。ところで、この式の変数x、y、z、a、b、は何を表しているのかと何の式で導いたのか教えてもらえますか。