指数関数による近似

質問

鉢植えの植物の、用土の乾燥の具合を数学的に計算してみようと思い立ち、こんなときは以前購入したバカ高い数学ソフトで・・と、久しぶりに起動してみようとしたら、WindowsXPには対応していないらしく。。(TT
どうか、お知恵をお貸しくださいませ。。

y = A + B * exp( -k * x )

y : 用土の重量
A : 用土の乾燥重量
B : 水分の重量・初期値
x : 時間
k : 減衰係数 ( k >= 0 )

このような式で表せると仮定し
x対yのサンプルを最小二乗近似して、式の定数 A, B, k を算出したいのです。
これを、Excelのリゾルバを使って求めることはできたのですが・・この代数的な計算方法、あるいは参考になるページをお教え頂けませんでしょうか？
如何せん、数学から遠ざかって久しいもので・・

回答No.2

noname#21649 · ベストアンサー

化学工学の乾燥理論のところをちょっと読んでいただければ答えは出るのですが...。
考え方だけ(私は必ず珪酸間違いをするため)。

X=0の時の値y0との差を各点で計算すれば.Aが消せます。
Yi=yi-y0
と置くと
Yi=B*exp(-k*xi)
となって.未知数2(B,k)の方程式になりますから.線形式になるように書き換えて.方対数(たしか)プロットして.エイヤーと線を引く。

お礼

なるほど！
そうすると、普通の対数上での直線回帰になるのですね。気づきませんでした。
ありがとうございます！

回答No.3

Ideasforlife

この式は、水分の減り方が現在の水分量 z = y -A に比例するという考え方ですから、方程式は、
dz/dx = -k * z　----- (1)
となります。これを解けば z = B exp(-k * x) です。
ということで、No.2の方の方法が本質的で、あとは、両辺の対数をとって、線形回帰にもちこんで　最小2乗法でエイヤッと解くわけです。

回答No.1

yaksa

Ａの項がなければ対数をとれば直線回帰になるわけですが、この場合は多分無理でしょう。
このような直線以外に回帰する最小二乗法を「非線形最小二乗法」とか「非線形回帰」とか呼びます。
それで検索してみたんですが、よくまとまってるページってないみたいですね。というか、いろいろな方法があってしっかり定まってないというのもあります。

a1,a2,..,anのn個のパラメータによって定まる、xの非線形関数に
y = f(x; a1,a2,...,an)
と回帰することを考えます。

結局、残差の２乗和
R = Σ{yi - f(xi; a1,a2,...,an)}^2
を最小化すればいいわけです。

１． 線形回帰の場合のようにパラメータa1,a2,...,anで微分して０とする（多変数関数の極小値を求める）。
→これで求まるなら解析解が求まるこれがいいですね。（線形回帰はこれです。）

２． Rを直接最小化する。
　最急降下法、Levenberg-Marquardt法などの逐次計算を用いてRを直接a1,a2,...,anについて最小化する。
→たぶん、excelのソルバとかはこれだと思います。計算機を使えば、どんな場合でもたいていうまくいきます。

３． f(x; a1,a2,...,an)をパラメータa1,...,anについてテイラー展開して、微小変位Δa1,Δa2...,Δanについて１次の項から順に∂^j f/∂ai^jを逐次近似で決めていく。
→計算機が使えないで手計算してた昔はよくやってたみたいです。今は２．で問題ないと思います。

お礼

うーん、なるほど。。
解析的に出そうとするより、数値計算で力業、というほうが手っ取り早いこともあるのですね。。
検討してみます。。ありがとうございました。