非負整数a,b,c,x,yで、ax+byとcが互いに素でなくなるのは?

質問

非負整数a,b,c,x,yで、ax+byとcが互いに素でなくなるのは?
a,b,cは互いに素でa^2+b^2=c^2、またx,y,cも互いに素であるとします。
例えば、(a,b,c)=(3,4,5)、(x,y)=(-1,7)ならば、
ax+by=25となって、cと素でなくなりますが、
どういった条件が成り立てば良いのでしょうか?

任意の整数の組(x,y)が与えられた時に、
(ax+by)/c≠0が約分できるような(a,b,c)の組を知りたいのです。

よろしくお願いします。
ちなみに以前の質問↓の続きです。
http://okwave.jp/qa/q6158436.html

回答No.1

proto · ベストアンサー

仮定よりa,b,cは互いに素ですから、gcd(a,b)=1で
　　aX + bY = 1
を満たす整数X,Yが存在しますね。

いまcのある約数をdとして両辺にdを掛けると
　　d*(aX + bY) = d
　　a(dX) + b(dY) = d
となります。

　　x = dX
　　y = dY
と置き換えると、不定方程式
　　ax + by = d
の解の一つが
　　x = dX
　　y = dY
であるということになります。
しかし、現段階では解(x,y)はどちらもcと共通な約数dを持ちますから、(x,y)は我々の求めている解ではありません。

さて、上の不定方程式の性質として、既知の解(x,y)と任意の整数nを用いて
　　x' = x +nb
　　y' = y -na
とすると、(x',y')もまた不定方程式の解になります。
このとき整数nをうまく取ることで、x',y',cを互いに素にできます。

　　x' = x +nb = dX +nb
　　y' = y -na = dY -na
より(dX+nb),(dY-na),cが互いに素であれば良いのですが、いまdがcの約数であることより、nb,na,cが互いに素でない場合、(dX+nb),(dY-na),cも互いに素でないとわかります。

逆にnb,na,cが互いに素であれば、(dX+nb),(dY-na),cも互いに素になります。
また仮定よりa,b,cが互いに素より、nとcが互いに素であればnb,na,cは互いに素になります。

以上より、
　　aX + bY = 1
となる(X,Y)を求め、cの約数dと、cと互いに素な任意の整数nを用いて、
　　x = dX +nb
　　y = dY -na
とすれば、x,y,cは互いに素で、しかも
　　ax + by = d
とるような整数(x,y)が構成出来ます。

補足

回答ありがとうございます。

「a,b,cが互いに素」は
「a,bが互いに素、かつb,cが互いに素、かつc,aが互いに素」
のつもりだったのですが書き方がまずかったでしょうか?

＞nとcが互いに素であればnb,na,cは互いに素になります。
とありますが、nbとnaは互いに素になるのですか?

x,yが決まっていて、a,b,cを選ぶような状況を考えているのですが
x,yとa,bを読み替えれば良いのでしょうか?