ラプラス逆変換

質問

L^-1[1/(s^2+ω^2)^2]を求めよという問題です。
似たような問題でL^-1[s/(s^2+ω^2)^2]は変形して
-1/2*d/ds*1/ω*ω/(s^2+ω^2)に変え、
1/2*1/ω*t*sinωtという答えを出せました。
で、一応答えを見てみると・・
1/(s^2+ω^2)^2=1/(2ω^2)*(1/(s^2+ω^2)+d/ds*s/(s^2+ω^2))という形にいきなり変形されています。
L^-1[s/(s^2+ω^2)^2]の場合はなんとなく商の積分の形だなってことでひらめくことができるのですが、
L^-1[1/(s^2+ω^2)^2]の場合は少し無理があるような気がします。
どうやって1/(s^2+ω^2)^2=1/(2ω^2)*(1/(s^2+ω^2)+d/ds*s/(s^2+ω^2))という形まで
もっていけばいいのでしょうか？お願いします。

回答No.2

yaksa · ベストアンサー

L^-1[s/(s^2+ω^2)^2] が商の積分の形だってことに納得できるなら、そこまで、無理のある変形とは思いませんが。

変形の手順としては
1) d/ds*s/(s^2+ω^2)) で 1/(s^2+ω^2)^2 の項が出そうだなって思う（ひらめく？）
2) 実際に、 d/ds*s/(s^2+ω^2)) を計算すると1/(2ω^2)*(1/(s^2+ω^2) が余る
ってだけですが。。

回答No.1

guuman

1/(s^2+1)^2=(1/(s^2+1))・(1/(s^2+1))
と考えて畳み込み積分したほうがいいでしょう
すると

L^(-1)=∫(0<p<t)・dp・sin(p)・sin(t-p)
=∫(0<p<t)・dp・(cos(2・p-t)-cos(t))/2
=(sin(t)-t・cos(t))/2

と簡単にもとまる