ゲーデルの定理は最終的なもの？

質問

まったく門外漢ですが、ゲーデルの定理というのは一種の最終的真理のように考えてよいのでしょうか？あるいは将来この定理を一部として含むような別の定理（？）が出現する可能性もあるのでしょうか？

回答No.2

yaksa · ベストアンサー

kaaitaradouさんが、「最終的ではない」というのを「将来、間違っているとわかるかもしれない」という意味で使っているなら、そうではないです。ゲーデルの不完全性定理は正しいですよ。証明されていることですから。

ゲーデルの定理はつまり、
「どんな数学の公理系にも、その公理系で記述できるが証明も否定も不可能な命題が存在する」
ということですね。つまり、その公理系と、その命題は独立なわけです。
であれば、その証明も否定もできない命題を新たに公理に付け加えてしまっても何も問題は生じないわけです。（もちろん、そうすると新たな証明も否定もできない命題が生じますが）
証明も否定もできない命題の例として、「その公理系が無矛盾」っていう命題がありますが、なんなら、それを公理に加えてしまえばいいわけです。ゲーデル以後は、一応そうやってしのいでいるって感じですね。

お礼

私には難しすぎるのですが、安心できました。

回答No.1

yaksa

最終的真理ってのが何を意味してるのかよくわかりませんが。
ゲーデルの定理（いくつかありますが）も普通に数学の定理の一つなので、当然、その拡張というか、ゲーデルの定理を一部として含む定理が見つかる可能性はあると思います。
少なくとも、「ゲーデルの定理は拡張できない」っていう定理はない今のところないと思います。

お礼

有難うございました。正しいか正しくないかが決められないとするとゲーデルの定理が正しいか正しくないかも決められないから最終的ではないということになるのでしょうか。