ゲーデルの不完全性定理って？

質問

いろいろ調べたんですがいろいろあって意味不明です。
数学の定理なんですか？これ。

回答No.1

kurobe3463 · ベストアンサー

数学の定理です．「主張」とか「哲学」ではありません．
「自分自身の正しさは，自分で証明できない」という部分が一人歩きして，何か哲学的なものと勘違いされる場面も多々ありますが，不完全性定理そのものはまったく数学の「定理」です．

もうすこし正確に言うと，
「自然数論を含む，無矛盾な体系が無矛盾である証明は存在しない．」
ということになるかな．

まず，「体系」とは有限個の公理から出発する数学などの体系です．公理は無条件に「真」であることが要請されている命題です．
「定理」とは公理から，真であることが証明される命題です．
「証明」とは，公理に対して推論規則を有限回あてはめる推論の羅列です．
「無矛盾」とは公理から，ある命題とその否定命題の両方が証明されないことです．
「完全性」とはトートロジーが証明可能なことです．
トートロジーとは恒真命題のことです．
「不完全」とはトートロジーの証明が存在しないことです．
「自然数論」とは普通はペアノの・・・
・・・・・
（以下略）

ネットで調べたくらいでは，正確な理解は無理です．
たとえば，関数f(x)がx=a で連続であることの定義を表す論理式は
∀ε∃δ∀x(ε>0 → (δ>0 → (|x-a|<δ → |f(x)-f(a)|<ε)))
ですから，不連続とは
∃ε∀δ∃x(ε>0 & δ>0 & |x-a|<δ & |f(x)-f(a)|≧ε))
なんていう，論理記号の機械的な扱いをまず慣れてから，数理論理学の基礎を学べば，すぐに不完全整理に到達できますよ．
論理記号が体に染み付くまでに扱えるようになるには，数学科で２年間はみっちり解析学，線形代数学，群論，関数論，微分幾何，・・・といったことをやれば何とかなるかな．（機械的な操作だけを覚えても付け焼刃だから使い物にならない）

うわべだけの理解を目指すなら，大きな書店の数学書のコーナーに「不完全性定理」というタイトルがいくつかありますから，どれか１冊マスターしてください．
まぁ，ネットだけで理解できたらかなりの天才ですから，是非その道を究めてください．

不完全性定理の証明のアイディアは，無限個のトートロジーを並べたときに，「対角線論法」を使うことです・・・ってわかんないよなぁ．
対角線論法とは実数は自然数より濃度が大きいことを証明するカントール（だっけ？）のアイディアです．
濃度とは有限集合の場合は要素の個数を表します．
集合とは・・・・

きりがないのでやめます．

お礼

・・・・難しいですね