０÷０＝０とする矛盾。

質問

もしも、「０÷０＝０」と定義したとすると、数学の計算上で矛盾や不具合が生まれるでしょうか。

こういう矛盾点や不具合があるよ、ということを教えていただけるならば、出来れば具体的例も添えていただけるとうれしいです。

回答No.13

BLUEPIXY · ベストアンサー

>左辺はどうやったら3になるのでしょうか？
色々誤解が生じているようなので、
もう一度
＃４の説明を試みてみます。
（説明が悪くて申し訳ありませんm(_ _)m）
左辺がどうやったら３になるというより
×という演算が
ａ×ｂ→ｃ
（ａにｂを掛けるとｃになる）を意味して
ａ×ｂ＝ｃ
と書くことにします。
この時
ある数ｘにｂを掛けたものがｃになるようなｘを求める演算として
ｃ÷ｂ→ａ
を÷という演算の定義だとして、
ｃ÷ｂ＝ａ
と書くことにします
この演算は結局＃９さんのような（除算でなく）"乗算表"を作成することで求めることができます。
ところが
３×０＝０の時のａ（３）を求める演算
０÷０は３ではなく定義により０になりますね。
なので３＝０になり矛盾するということなのですが、
これは、本来こうした÷０が不定であることを無視して０÷０がある値（０）に限定するということから発生しているものです。

上に述べた演算においても、
ａ×０＝０となるような乗算の逆演算（÷）は、ａが"なんでも成り立つこと"からａは不定であるとしないと
３＝０とか全ての数が０に等しい（全ての数を０にあてはめる行為）ということになってしまいます。
これは、
０÷０を０に限定することは、
０÷０＝０は不定ではないと言っていることと同じであり、
実際には不定なのですから矛盾しています。
１つ注意して頂きたいのは、
等式の両辺を同じ数で割ったり掛けたりできると言うことの意味は、
それが、それが、×÷に関して成立しているからこそできることです。
×とはどういう演算なのか
÷とはどういう演算なのかという
部分の段階にについて
ａ×ｂ＝ｃ
ａ＝ｂ÷ｃ
といっているのであって、実際の計算が普通（常識的に）行われるのと同じにいっているのとはちょっと違います。
つたない説明ですが、こんなもんでどうでしょう？

お礼

わかりやすく解説してくださってありがとうございました。
頭が悪いのに、これはどうだろあれはどうだろうと不思議にばかり思ってしまうので、私の質問は変なものだったと思います。真剣に答えてくださって、本当に感謝しています。

ここにまとめてお礼を申し上げさせていただきます。

回答No.3

MayWind

「０÷０」　は、解析学のε-δ論法や、微分の定義を学ぶと「＝０」とは限らない事が分かります。

「０÷０＝０」と定義すると、例えばｄｙ/ｄｘ値が収束していく先が不連続になるため、導関数が定義できなくなります。

お礼

回答してくださってありがとうございます。

＝０と限らないことは理解しつつ、「もしも」の話としておりました。

微分の解がすべて０になってしまう、ということでしょうか。これはかなり不具合ですね。

回答No.2

freednia

等号（＝）の定義として　左辺＝右辺　の場合、
左辺と右辺に違う実数をかけたらイコールは成り立たなくなります。
でも、０÷０＝０　として、
左辺に５、右辺に３をそれぞれかけてみましょう。

（０÷０）×５＝０×３
（０×５）÷（０×５）＝０×３
　０÷０＝０

イコールが成り立ってしまいました。
これでは等号（＝）の定義に反します。

お礼

回答してくださってありがとうございます。

等式の定義に反しますか・・・考えていませんでした。

やはり、０÷０＝０においてのみですが、等式の定義に反すると、計算上良くないんでしょうか。

回答No.1

hijyousyudan

『Ｘ÷Ｘ＝１』
という式に矛盾が発生してしまいます。

お礼

回答ありがとうざいました。

０÷０＝０と定義した場合として考えているので、
Ｘ÷Ｘ＝１（Ｘ≠０）　で、Ｘ＝０のとき、０÷０＝０となると思います。

その上で、０÷０＝０だと不具合があるのでしょうか、ということでした。
説明が下手で、聞きたいことがうまくまとめられなくてすみませんでした。