はさみうちの原理について

質問

「lim(n→∞)5^n/n!を求めよ。」
という問題で、解答で、
「0＜5^n/n!≦5*5*5*5*5…5*5/1*2*3*4*5…5*n=5^5/24n」
となっているのですが、
「5*5*5*5*5…5*5/1*2*3*4*5…5*n」
の部分の意味がわかりません。
どういう意味なのでしょうか。教えて下さい。

回答No.2

mizuc44y · ベストアンサー

まず、分母が小さければ全体として大きくなり、はさみうちの原理が使えそうだな、と考えます。
　分母を取り出して考えると…
　　n!=1*2*3*4*5*6*7*8*…*n
　これから考えて、分子が5^nなので、上式より小さい値として、次の値を考えるとします。
　 　 　1*2*3*4*5*5*5*5*…*5
　最初の式よりも明らかに小さいですよね？
　さらに、これから考えて、ｎを無限大に飛ばしたらこの分母の部分が無限大になれば、全体として０になり、はさみうちの原理が使えるので、ｎをひとつだけ入れておきます。（最後の５とｎを入れ替える）すると
　　 　 1*2*3*4*5*5*5*5*…*n
　これでも、最初の式より明らかに小さいですよね？
よって解答のような不等式が成立します。

お礼

回答、ありがとうございました。
ずっと疑問に思っていたのですが、納得できました。

回答No.1

Yokoken

kkmsさん初めまして。

質問の件ですが、
5^n/n! = 5*5*…*5/1*2*3*4*5*6*…n
ですよね。
ここで、1*2*3*4*5*6*…n > 1*2*3*4*5*5*…5*n
となるのは分かるでしょうか？
左辺は、かける数が、6、7と増えていくのに対して、
右辺は一定ですので、左辺の方が大きいです。

で、これを分母に持ってくると、
不等号の向きが変わります。
よって、質問中の回答のような不等式が成り立つと思います。

あまり上手な回答ではないですが、
良かったら参考にしてください。

お礼

アドバイス、ありがとうございました。
納得できました。