ベクトルです

質問

空間内の４点、Ｏ(0,0,0,)、Ａ(1,1,0)、Ｂ(0,1,1)、Ｃ(1,0,1)に対して、動点
Ｐ(x,y,z)を→OP＝p→OA＋q→OB＋ｒ→OCで定める。p＋q＋ｒ≦3、0≦ｒ≦q≦pを満たすとき点Ｐの動く範囲を求めよ

という問題で
p＋q＋ｒ＝ｋとする
→OA'＝k→OA・・・
p＝ｋp’・・・のようにおくと
→OP＝p'→OA'＋q'→OB'＋r'→OC'
(p'＋q'＋ｒ'＝1、0≦ｒ'≦q'≦p')
p'＝1－q'－ｒ'であるから
→A'P＝q'→A'B'＋r'→A'C'・・・(ⅰ)
0≦ｒ'≦q'≦1－q'－ｒ'
すなわち　2ｑ'＋ｒ'≦1　0≦ｒ'≦q'を満たす

→A'M'＝1/2・→A'B'
→A'G'＝1/3・(→A'B'＋→A'C')
とおくと
(ⅰ)から
→A'P＝q'・2・→A'M'＋r'(3→A'G'－2→A'M'）・・・

というふうに解答が進んでいくのですが、なぜ
→A'M'＝1/2・→A'B'
→A'G'＝1/3・(→A'B'＋→A'C')
とおいたのかわかりません。どのような根拠があっておいたのでしょうか？

なおこの解答に図が書いてありｒ'＝q'の直線と、ｒ'＝－1/2q'＋1の直線が書いてあり、交点(0,1/2)(1/3,1/3)が記されています

この図と→A'M'＝1/2・→A'B'
→A'G'＝1/3・(→A'B'＋→A'C')
と置いたのには何か関係があるのでしょうか？
また何か関係があるのだとしたらどう関係してるのでしょうか？

よろしくお願いします

回答No.2

yaksa · ベストアンサー

＃１のお礼について。
＞交点(0,1/2)より→A'M'＝1/2・→A'B'
＞(1/3,1/3)より→A'G'＝1/3・(→A'B'＋→A'C')
＞とおいてもつじつまがあうように思えるのですが、
＞この考え方は必ずしもいつも使えるというわけではないのでしょうか？
いつも使えるのかというのは微妙ですが、
少なくともこの問題に関しては、たまたまではなくて、ちゃんと根拠があります。

2ｑ'＋ｒ'≦1　0≦ｒ'≦q' ...(1)
を、
s+t≦1，0≦s，0≦t ...(2)
に変換するのが今の目標です。

＃１では、「q'-r'がパラメータの一つとして使えそう」という、思いつき？が出発点でした。

そうではなくて、
「(1)をr'q'平面上の範囲としてあらわそう」という考えから出発すると、
(1)はr'q'平面上の三角形(0,0)、(0,1/2)、(1/3,1/3)の内部の点です。
つまり、
(r',q') = s(0,1/2) + t(1/3,1/3) ... (3)
（ばらして書けば、r'=t×1/3，q'=1/2×s + 1/3×t）
の形で書けば、ちょうど、
s+t≦1，0≦s，0≦t
になるというわけです。
で、これを、
A'P＝q'→A'B'＋r'→A'C'
に代入してs,tについて整理するわけですが、
そうすると当然(3)の係数(0,1/2)と(1/3,1/3)がそのまま出てくることになります。

まあ結局、
『(1)を(2)の形に変換する』
という目標を達成できさえすれば、どうやってもいいんですが、
・＃１では、『q'-r'がパラメータの一つとして使えそう』という考え、
・今回は、『(1)をq'r'平面上の範囲としてあらわしてみよう』という考え、
が出発点になっているわけです。目標が達成できるならどっちでもいいです。

お礼

丁寧に説明していただき本当にありがとうございました。とてもわかりやすかったです。
どうもありがとうございました

回答No.1

yaksa

＞→A'P＝q'→A'B'＋r'→A'C'
＞2ｑ'＋ｒ'≦1　0≦ｒ'≦q'を満たす
これが扱いにくいからです。

なんとかして、パラメータを、
s + t≦1，0≦s，0≦t ... (1)
の形の範囲を取るように変換したいのです。この形なら、三角形の内部とすぐにわかります。

0≦ｒ'≦q'から、0≦q'-ｒ' です。q'-r'をパラメータの１つとすればよさそうです。
2ｑ'＋ｒ'≦1 を q'-ｒ'を出すように変形すると、
2ｑ'＋ｒ' = 2(q'-r')+3r'≦1
です。
結局、s=2(q'-ｒ')、t=3r'と置けば、
s + t≦1，0≦s，0≦t
と(1)の形の条件になります。
で、q'=s/2+t/3，r'=t/3 を代入すると、
→A'P = q'→A'B'＋r'→A'C'
　　　= (s/2+t/3)→A'B' + t/3→A'C'
　　　= s×{1/2→A'B'} + t×{1/3×(→A'B+ →A'C')}
になります。で、
→A'M'＝1/2・→A'B'
→A'G'＝1/3・(→A'B'＋→A'C')
と置けば、
→A'P = s→A'M'＋t'→A'G'
s + t≦1，0≦s，0≦t
となって、Pが三角形A'M'G'の内部にあることがわかります。

お礼

解答ありがとうございます。そのように考えればいいわけですね。よくわかりました
追加で質問なのですが
交点(0,1/2)より→A'M'＝1/2・→A'B'
(1/3,1/3)より→A'G'＝1/3・(→A'B'＋→A'C')

とおいてもつじつまがあうように思えるのですが、この考え方は必ずしもいつも使えるというわけではないのでしょうか？今回たまたまなのでしょうか？