電磁界理論の数値解析について

質問

僕は今FDTD法を使って微小開口を持つ金属平板に連続平面波を入射して開口付近の電磁界解析を行っているのですが現在その解析で「実数」を用いて行っています．連続波を用いているので当然ある一定の振舞いになった時，入射電界の1周期で平均をとる(実効値を求める)必要があります．
そこで「複素数」を用いればそのようなことをしなくてもいいそうなのですがそれはどうしてなのかわかりません．
複素数を用いる利点については電気回路のところで回路方程式において微分がjwの掛け算となり積分がjwの割り算になり単なる代数方程式になり計算が容易となることぐらいしかわかりません．どなたか是非何卒回答の方お願い致します！

回答No.2

foobar · ベストアンサー

ちょっと（かなり？）説明不足でした。
Aexp(j(wt+φ))=Aexp(jφ)exp(jwt) で、各部の電磁界（を表現する式)にはexp(jwt)が共通で出てきます。そこで、各式からexp(jwt)を共通項として消去することができ、時間を含まないAとφの関係式にすることができます。
結果、数値計算ではAとφだけを計算すればいい(単に、平衡条件で解けば良く、時間発展を解く必要が無い)ということになります。

実効値の算定
｜exp(j(wt+φ))｜＝１ですから、単にA（の係数倍)になりますね。

実数と複素数(exp(jwt))の対応
対応方法には何種類かあるかと思います。（一番単純なのは、実数解にA exp(j(wt+φ))の実部を対応させる方法でしょうか。)対応のつけ方で、実効値を計算するときにAにかかる係数が変わってきます。（単に相対値を見るだけなら、Aをそのままつかっても良いかと)

数値計算法
大きく分けると、
1. 時間を含んだ微分方程式をt=0から解く方法
2. 時間を含んだ方程式で、周期性を利用して解く方法
3. 上記方法で関係式からtを消去して、単純な平衡解を計算する方法
になるかと思います。
それぞれ長所短所ありますが、線形系、定常解なら、3の方法が楽かと思います。
実際の計算方法、詳細は、、、数値解析の書籍を見ていただくのがよろしいかと。（ちょっと説明するには私では力不足、、）
1.は通常の初期値問題
2.は境界値問題（の一種)
ですので、このあたりをキーワードにされては如何かと。

お礼

再び回答有難うございます．
疑問に感じていたことが解決できました．
心から感謝いたします．
数値計算法については上記のキーワードを参考に調べてみたいと思います．
本当に有難うございました．

回答No.1

foobar

複素数というか、
最初に周期性をもった信号を仮定しておけば、振幅と位相だけですむ
ということですね。

例えばもとの信号が周波数wの正弦波(sin(wt))の場合には、どこの電界、磁界も全て A sin(wt+φ) の形になります。この場合、変わるパラメータは Aとφだけです。また、この形になってれば、実効値は A/(√2) で簡単に求まりますね。
で、三角関数つかって実数領域で計算するより、複素領域で指数関数使って処理する方が楽(?)なので、同様の計算を
A exp(jwt+φ) の形で処理すると。

あと、数値計算で時間領域で計算する場合でも、微分方程式の時間発展を定常解になるまで解く以外に、最初から定常解を想定して、周期条件(時刻0と時刻T=2π/w での値が一致する)を使って解く方法もあります。

お礼

丁寧な回答をして頂き有難うございます．
もしA exp(j(wt+φ))を用いた場合，実効値は数値計算でA exp(j(wt+φ))=A(cos(wt+φ)+jsin(wt+φ))ですから
実数部と虚数部をそれぞれ2乗したものの和のルートをとり，それに√2すればよいというとこですよね．

最後に別の方法も書いて頂き有難うございます．
それについて興味がありますのでもう少し詳しく教えて頂けますでしょうか？もしくはそれに関する参考文献がありましたら教えて頂けますでしょうか？