数と式

質問

２２×２８＝６１６　３４×３６＝１２２４
ですが
２８の十の位の２に、３６の一の位の３にそれぞれかけあわせる。
〈十の位〉
２×（２＋１）＝６　３×（３＋１）＝１２
　そして、２２の一の位の２と２８の一の位の８
３４の一の位の４と３６の一の位の６そのままかけあわせる。
〈一の位〉
２×８＝１６、４×６＝２４
これらをそのまま十の位の計算結果の最後に一の位の計算結果を続けて書けば、
６と１６で１＝６１６　１２と２４で２＝１２２４

この２数をX,YとしX=10a+b,Y=10a+c
とする時成り立つ条件を教えてください。

回答No.5

JaritenCat · ベストアンサー

No.2です。。
(10*a+b)*(10*a+c)=100*(a*(a+1))+b*c　ですよね。
整理すると、b+c=10

補足

ｂ＋ｃ＝１０なのは分かったのですが、
その理由はどうしてですか？

回答No.7

JaritenCat

No.5の補足です。

＞その理由はどうしてですか？
すでにNo.6で詳しい解説がされていますが、それと同じ式です。

(10*a+b)*(10*a+c)=100*(a*(a+1))+b*c　
の左辺が、No.6の(1)の式X*Yです。
右辺が、No.6の(4)の式です。

分からないところがありますでしょうか？

回答No.6

sta_vanilla

＃４の補足です。

問題を言葉で言い表せば、22 × 28 の場合を例にとれば

『十の位が同じ数字であるような２つの数を掛ける。まず十の位の数字と
それに１を加えた数との積を書く。次にそれぞれの一の位を掛けた数字を
先の数字の後ろに続けて書いたとき、その数字が正しい答えとなる条件』

を求めるということでよろしいですね。

---------------------------------------------------------------------

この２数を X , Y として、それぞれ

X = 10a + b, Y = 10a + c （但し a,b,c は１桁の自然数）

とおきます。（ X と Y で同じ文字 a を用いているのは、十の位が同じで
あることを表しています）

積 XY を作ると

XY = (10a + b) ( 10a + c)
　 = 100a^2 + 10a(b + c) + bc ‥ (1)

次に、十の位の数字とそれに１を加えた数字の積を表します。これは

a( a + 1 ) ‥ (2)

と表せます。
更にそれぞれの一の位を掛けた数字は

bc ‥ (3)

となります。

(2) と(3) を普通の数字として並べて書くということは、(2) の結果は
普通の数字として書けば百の位に位置するので、100 倍する必要があります。
ですから並べて書いたときの結果は

100a( a + 1 ) + bc ‥ (4)

となりますね。
(1) と(4) が等しいための条件を見つけるために、(1) = (4) とおきます。

100a^2 + 10a(b + c) + bc = 100a( a + 1 ) + bc

これを解くと（100a^2 と bc は両辺に同じものがあり消去されて）

10a(b + c) = 100a ‥ (5)

a がゼロだと２桁の数字になりませんから、a ≠ 0 です。
したがって(5) の両辺は 10a で割ることができて

∴ b + c = 10 （但し b,c は１桁の正の整数）

---------------------------------------------------------------------

したがって一の位の数字の合計が10になりさえすれば、十の位の数は適当な
ものに取り替えても同じことが成り立つことになりますね。
例えば 53 × 57 なら、5 × 6 を計算して30 を得て、3 × 7 = 21 から
これらの結果を並べて書いて 53 × 57 = 3021 ってことですか。

ついでですが、昔中学２～３年の数学の教科書に載っていたタイプのでは、

『下一桁が５である数の平方数を求めるためには、上の桁の数字と、それに
１を加えた数の積をかき、その下に 25 を付け加えるだけで求められる』

ってのがありました。

65の２乗の場合、6 × 7 = 42 なので、この下に 25 をくっつけて4225 です。
195 の２乗の場合、19 × 20 = 380 なので、25 をつけて 38025 とか。
これも同様の考え方で証明できますよ。余力があればやってみて下さい。

回答No.4

sta_vanilla

意味するところはおおよそ把握しました。
お急ぎのようなので取りあえず答えを。

b + c = 10, ( 但し b と c は１桁の自然数 )

----------------------------------------------

補足要求があれば証明過程を書きますが、まずは何故そうなるか
ご自分で考えてみて下さい。

補足

４日間考えたのですが、やっぱり分からなかったので…

回答No.3

noname#17965

質問文の意味が不明です。
（十の位）
２×（２＋１）＝６　（２＋１）ってなんですか？
その隣の３×（３＋１）はどうやって計算したのですか？

補足

なるという仮定の下での話です。

回答No.2

JaritenCat

b+c=10 では？

補足

ｂ＋ｃ＝１０なのは分かったのですが、
その理由はどうしてですか？

回答No.1

kachikachi

問題が少し間違っていないかな。
＞２８の十の位の２に、３６の一の位の３にそれぞれ
　かけあわせる。
36の一の位は６だよ。
もう一度正確に問題を教えてね。

補足

２２×２８＝６１６　３４×３６＝１２２４
ですが
２８の十の位の２に、３６の十の位の３にそれぞれかけあわせる。
〈十の位〉
２×（２＋１）＝６　３×（３＋１）＝１２
　そして、２２の一の位の２と２８の一の位の８
３４の一の位の４と３６の一の位の６そのままかけあわせる。
〈一の位〉
２×８＝１６、４×６＝２４
これらをそのまま十の位の計算結果の最後に一の位の計算結果を続けて書けば、
６と１６で１＝６１６　１２と２４で２＝１２２４

この２数をX,YとしX=10a+b,Y=10a+cとする。

（１）以上のことが成り立つ２桁の整数のかけ算の例は？
（２）以上のことが適用できる時、a,b,c,の満たすべき条件は？
（３）（２）の条件のもとで計算方法が適用できる理由を述べよ。