有効数字

質問

東西に通じる直線道路を東向きに8.0m/sの速さで進んでいた自動車が、 点○を通過した瞬間から東向きに2.0m/s²の一定の 加速度で3.0秒間加速し、その後一定の速度で進んだ。

加速し始めてから3.0秒後の自動車の速度はどの向きに何m/sか。
という問題で、答えは東向きに14.0m/sでした。
私は、問題にでてくる有効数字で1番桁数が小さいものに合わせると習ったのですが、今回は解答を見ると足し算での有効数字のルールに則って答えをだしています。、
有効数字の計算のルールにしたがうのか、問題文の桁数に合わせるのか分かりません

回答No.5

maskoto

模範解答作成者の考え方は、次の通りだと思います
39.2=9.8×t+1/2×9.8×t^2…①
ここで、一端有効数字のことは棚上げ
二次方程式を数学的に扱い解くと
8=2t+t2 t²+2t-8=0 （t-2）（t＋4）=0 t>0 で
t＝2
ここで二次方程式①に戻る
①は有効数字3桁と２桁が混在していて、
最も精度の悪いのは、有効数字２桁である9.8
そのような式から求めたtの精度が例えば有効数字10なんていうように、とても良い者になるはずもなく、9.8により、tも有効数字２桁くらいになるんだろうなという検討はつくはずです

そこで①について検証
左辺は有効数字3桁で
本当の左辺の値は
39.15〜39.25②のうちのいづれかの値を取りうると言う事を頭に置く

tの有効数字が4桁でt＝2.000だとすると
tの本当の値は1.9995〜2.0005の間にあるいづれかの値
と言う事で、この範囲のtの最小値と最大値で右辺がいくらになるか調べてみる
t＝1.9995のとき、右辺＝39.185301225
t＝2.0005のとき、右辺＝39.214701225
これでは、左辺の値を網羅出来ていない
t＝2.000(有効数字4桁)と表記すると
仮にtの本当の値が2.0006であった場合、この値がt＝2.000の表す守備範囲にはないから、これは不正確ということになる
→tの有効数字は4桁(t＝2.000)とするべきではない！
(ちなみに、tの本当の値が2.0006のとき
右辺＝39.217641764となるからこれは、左辺の値の範囲内→真の値はt＝2.0006である可能性は排除できない)
同様にtが有効数字3桁とすると
t＝1.995のとき、右辺＝39.0531225
t＝2.005のとき、右辺＝39.3471225
有効数字が2桁とすると
t＝1.95のとき、右辺＝37.74225
t＝2.05のとき、右辺＝40.68225
有効数字3桁でも2桁でも右辺の値は左辺の
値を全てカバーしてるから
tの値は1.9995〜〜2.0005の間だよと言い切って(有効数字でt＝2.000だとして)、本当はt＝2.0006などの可能性も在るのに、それを漏らしてしまうより
該当しないtの範囲まで含めて、大雑把に
tの値は1.995〜2.005の間にある数字(有効数字3桁)
だよという方がまだ間違っていない表現だということになります
この意味では、勿論、有効数字2桁としても
有効数字4桁とするよりは誤りのない表現だといえますが、有効数字3桁表現よりは大雑把過ぎるともいえます
ゆえに、検証の結果、この問題では有効数字3桁が良さそうです(私に計算ミスがなければ)
ただ、今見た通り、こんな検証はとても良い面倒臭い！！
模範解答作成者は、面倒臭い検証はパスして、9.8(有効数字2桁)を含む式から導かれれる
tの精度はざっくり有効数字2桁だと感じて、
t＝2.0にしたのかもしれません
私がこの問題を初めてみて、答案を作るときでも
面倒だし、時間もかかるので9.8を見て
tは有効数字2桁とするかと思います

〜以上参考まで〜

回答No.4

maskoto

V^2-V0^2=2ax
でも、はたは、別のパターンの計算式でも先に示した簡易ルールを勿論使います

(誤差に関する計算の詳しい内容は、大学で習うことができます)

補足

もう1つお聞きしたいのですが
高さ39.2mのビルの屋上から球を初速度9.8m/sで鉛直下向きに投げ下ろした。球が地面に達するまでの時間もとめよ。

小球が地面に達するまでの時間をt [s],地面に達する直前の小球の速さ をv [m/s]とする

解答 39.2=9.8×t+1/2×9.8×t^2

両辺を4.9でわると

8=2t+t2 t²+2t-8=0 （t-2）（t＋4）=0 t>0 であるから t=2.0s
という問題で、（t-2）（t＋4）=0 では有効数字を気にしていないのですが、これはどういうことなのでしょうか。

回答No.3

maskoto

説明の都合上
問題文の数字を一部変更します
8.0m/sの速さで進んでいた自動車が、 点○を通過した瞬間から東向きに2.1m/s²の一定の 加速度で3.1秒間加速し、その後一定の速度で進んだ。…

この問題で、答えを求める方法は
ざっくり言うと以下のようになります
この答えを求める公式は
V＝V₀+at
これを用いて貴方は
V＝8.0+2.1×3.1
と言う計算を行うと思う
すると、掛け算優先だから
2.1×3.1をまず行う事になる
→2.1×3.1＝6.51
もし、このあとに足し算を行わないで
これを答えとして良い状況なら
有効数字二桁×有効数字二桁
の掛け算は、有効数字の少ない方に答えの有効桁数を合わせる
というのが掛け算のときの簡易ルールだから
2.1×3.1＝6.51→答え6.5
と言う事になる
つまり、6.51の1は誤差まみれでデタラメの数値と言う事！
これに留意して、足し算に移る
まずは掛け算の結果を反映させて
8.0+2.1×3.1＝8.0+6.51
とする
ここで注意すべきは、幾ら6.51の1がデタラメであっても、途中式においては可能な限り数値の四捨五入(切り捨て)を行わないようにする
と言う事です！
つまり、有効数字二桁だと言っても
6.51の1を切り捨てないようにすると言う事
(というのは、途中式で数値の四捨五入などを行うと、誤差が増して来るため)
で足し算実行
8.0+2.1×3.1＝8.0+6.51＝14.51
となりました
ところで、有効数字とは、その末尾の数字に若干の誤差があり、更にその下の位は全くのデタラメというものですから
8.0は小数点第一が若干の誤差を持っていて
第２位以下は全くのデタラメ
先程示したように、有効数字二桁に直すべき6.51の方も5は若干の誤差含み、1はデタラメ
と言う事になります
さて今度は、足し算の簡易ルールを採用します
有効数字の足し算では、足し算の結果を
精度の悪い方の数値の末位に合わせる
というのが簡易ルールです！
(例:3.21+45について
3.21が有効数字3桁で3.2までは正確な値、1は若干の誤差あり
45は有効数字二桁で4は正確5は若干の誤差
正確な位が十の位までしかない４５のほうが精度が悪い
→足し算の結果は精度の悪い45に合わせて、一の位まで表示する
→3.21+45＝４8.21≒48…答え)
カッコの例も参考にして両数字の精度を比べると
どちらも1の位までが正確、小数点一位は若干の誤差であるから両数字の精度は同等、足し算の結果も、これに合わせて小数点一位まで表示
8.0+2.1×3.1＝8.0+6.51＝14.51≒14.5…答え
このようにするのです
問題文の数値を本来のものに戻しても、簡易ルールの適用の仕方は同じです

補足

方程式を解く時にも上のルールを考えないといけませんか？たとえば、V^2-V0^2=2axを使う時です

回答No.2

f272

> 例えば、問題に有効数字2桁と3桁の数値があったら、有効数字は2桁にすると習ったのですが、間違いということですか？

それだけであれば、間違いです。有効数字2桁と3桁の数値を掛けるときに有効数字を2桁にするのはそれでいいですが...
掛け算/割り算は有効な桁の少ない方に合わせる。
足し算/引き算は有効な最小の桁が大きいほうにに合わせる。

回答No.1

f272

8.0+2.0*3.0
=8.0+6.0 掛け算/割り算は有効な桁の少ない方に合わせる。2桁かける2桁は2桁です。
=14.0 足し算/引き算は有効な最小の桁に合わせる。小数第一位まで。

> 私は、問題にでてくる有効数字で1番桁数が小さいものに合わせると習ったのですが

ルールを誤解しています。

補足

例えば、問題に有効数字2桁と3桁の数値があったら、有効数字は2桁にすると習ったのですが、間違いということですか？