数学根号

質問

√a²と(√a)²は何が違うんですか？例えばa=-3のとき前者は3、後者は-3になります。これはなぜですか？

回答No.3

kiha181-tubasa · ベストアンサー

多分ご存じの事でしょうが，確認のために述べます。

実数の世界で，√という記号の意味について
教科書では次のように説明しているのが一般的です。
「Ａを正の実数とする。平方するとＡになる実数は２つ存在し，それらは絶対値が等しく，符号だけが異なる。そのうちの正の方を√Ａと書く。負の方は-√Ａとなる」
簡単に言えば，√Ａとは平方するとＡになる正の数ということになります。また√０＝０。

a≠0(a>0でもa<0でも良い)のときa^2は正の数ですから，√(a^2)は平方するとa^2になる正の数です。だから，
a>0の時はaそのまま，a<0の時は符号を変えて-a（-は負の数の符号を+に変えるため）とまります。そこで√(a^2)=|a|なのです。
（以上で記号√の確認を終わります）

質問の√(-3)^2と(√(-3))^2の違いについて
√(-3)^2=√9=3としても良いですが，√(a^2)=|a|からも√(-3)^2=|-3|=3でも説明できます。
(√(-3))^2については，実数だけを考えると，平方して-3になる実数は存在しないので√(-3)は存在しない数です。
しかし，複素数の範囲で考えると√(-3)=(√3)iとなるから
(√(-3))^2=((√3)i)^2=(√3)^2*i^2=3*(-1)=-3
ですね。

もう少し詳しく説明します。少しの我慢で視界が開けますからお付き合い願います。
疑問の理由は，√(a^2)と(√a)^2は等しいと思っているからだと思います。
√についての公式計算法則の１つ，√a√b=√(ab)は複素数の範囲では一般的には成り立たないのです。確かめてみましょう。
a>0,b>0の場合に成り立つことは教科書で証明済みでしょうから省きます。
a>0,b<0の場合は以下の理由で成り立ちます。
　√a√b=√a(√|b|)i=√(a|b|)i=(√|ab|)i　（a>0だからa=|a|）
　√(ab)=(√|ab|)i　　（∵ab<0）
a<0,b>0の場合も上と同じです。
a<0,b<0の場合（ab>0）
　√a√b=(√|a|)i(√|b|)i=(√(|a||b|))i^2=-√(ab)≒√(ab)
以上のとおり，成り立たない場合がありますね。
質問の例は，最後の例のような同符号に当たるわけですね（同じ数だから当然か）

回答No.7

head1192

√a²＝√（a×a）
（√a）²＝（√a）×（√a）
理由は小四の算数を復習のこと。

回答No.6

tootattatato

質問者さんが現段階でどこまで学ばれてるのか、に影響されそうな話ですね。

負の数の平方根　というのは実数の範囲を越えて複素数という数の考え方まで広げないと定義できません。

マイナス×マイナスは正の数

という前提があるからです。当然負の数の２乗も正の数になります。

よって、もし質問者さんが複素数を学ばれていないのであれば、ルートの中身が負の数であるような数は存在しないものとしているので、そもそも、√-a　(ただしa＞0)という数を考えることが出来ません。

ですから、√(-a)²は考えることは出来ても他方が存在しないので比較のしようが無いのです。

細かいことは割愛しますが、ルートの中身が0以上の数に限るのであれば、つまり、正の数の平方根に限るのであれば、両者が等しくなるというのは簡単に証明できると思うので、ぜひ挑戦してみてください。

回答No.5

nihonsumire

√ ×√ と(√ )×(√ )の違いでしょう。

回答No.4

Kaneyan-R

√a² = √(a × a)
よって、√(-3 × -3) = √9 = 3

(√a)² = a　※√が外れるだけ
よって、(√-3)² = -3

なぜ√が外れるだけかと言えば、√nは二乗してnになる数なので、√nを二乗したものはnになると言う理屈。

回答No.2

neKo_quatre

違うのは計算順序では。

> √a²

1) aの2乗を計算
2) その結果の√、平方根を計算

> (√a)²

1) aの√を計算
　a=-3の場合、複素数を考えない場合はこの時点で計算不能。
2) その結果の2乗を計算

回答No.1

m5048172715

自乗してaになるものを、√aと書く。

自乗して-3になるものを、√-3と書く。

(√-3)^2
= (自乗して-3になるもの)^2
= -3