数学の漸化式の問題です！

質問

下の3問の解き方がわかりません
途中式と答えを教えてください！

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回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

等差数列や等比数列は学習済みですね。その前提で回答します。
第１問は，漸化式自身が「各項に３を加えると次の項になる」のですから，「公差が３の等差数列」だと言っていますよ。初項は３です。ですから，等差数列の一般項を求める公式で求められます。
a<n>=3+(n-1)*3=3n

第２問は，漸化式自身が「各項に２をかけると次の項になる」のですから「公比が２の等比数列」だと言っています。初項は４です。
ですから，等差数列の一般項を求める公式で求められます。
a<n>=2*2^(n-1)=2^n
※　2^(n-1)は2を(n-1)個掛け合わせたもの（累乗）です。それにもう１個2をかけるので，2をn個掛け合わせたことになります。だから，2*2^(n-1)=2^n

第３問は工夫が必要です。添え字はa<n>の様に書くことにします。
a<n+1>=5a<n>+4　……①
を
a<n+1>-α=5(a<n>-α)　……②
の形に変形することを目指します。これがこの型の漸化式の攻略法です。
②の形になったとして，これを展開して元に戻していきます。
a<n+1>-α=5a<n>-5α
a<n+1>=5a<n>-4α
この漸化式が①と同じであるためには
-4α=+4
α=-1
です。ですから，②でα=-1とすると
a<n+1>-(-1)=5(a<n>-(-1))
a<n+1>+1=5(a<n>+1)　……③
さて，ここでa<n>+1=b<n>とおきますと③は
b<n>=5b<n+1>　……④
また，b<1>=a<1>+1=5　……⑤　となります。
④と⑤から，数列{b<n>}は初項が５で公比が５の等比数列であることがわかりました。したがって
b<n>=5*5^(n-1)=5^n
ところで
a<n>+1=b<n>であったから
a<n>+1=5^n
a<n>=5^n-1　……答

※　α=-1を求めるもう少し簡単な方法もありますが，「なぜα=-1」を納得してもらうにはここに紹介した方法が良いと思います。

お礼

ありがとうございます😊