データの分析 117[C]

質問

次の表は、あるクラスの生徒10人に対して行った英語と国語のテストの結果である。ただし、英語の得点を変量x、国語の得点を変量yとする。
X 9 9 8 6 8 9 8 9 7 7
Y 9 10 4 7 10 5 5 7 6 7
定数x(0),y(0)と正の定数cを用いて
u=(x-x(0))/c,v=(y-y(0))/c
とするとき、次の問いに答えよ。
(1)uの平均値uバー=0とするとき、x(0)の値を求めよ。
(2)vの分散s(v)^2とyの分散s(y)^2の比を1:2とするとき、cの値を求めよ。
(3)xとyの相関係数r(xy)を求めよ。また、任意の定数x(0),y(0)と正の定数cについて、uとvの相関係数r(uv)がr(xy)に等しくなることを示せ。

この問題を解いてください。お願いします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

(1) 以降、平均値を表すバーの代わりに u’ と表す。
u’ = { ( x - x(0) ) / c }’ = (x’ - x(0) ) / c
これが0に等しくなるのは x’ = x(0) のとき。
x’ = (9 + 9 + 8 + 6 + 8 + 9 + 8 + 9 + 7 + 7) / 10 = 80
よって x(0) = 8

(2)
vとyの関係式より
s(v)^2 = { s(y)^2 } / c^2
よって c^2 = 2
cは正なので c = √2

(3)
データXの偏差は
1 , 1 , 0 , -2 , 0 , 1 , 0 , 1 , -1 , -1 …①
よってデータXの分散は
(1 + 1 + 0 + 4 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1) / 10 = 1
データXの標準偏差は √1 = 1

データYの平均値を求めると y’ = 7
データYの偏差は
2 , 3 , -3 , 0 , 3 , -2 , -2 , 0 , -1 , 0…②
よってデータYの分散は
(4 + 9 + 9 + 0 + 9 + 4 + 4 + 0 + 1 + 0) / 10 = 4
データYの標準偏差は √4 = 2

①と②より、データXとデータYの共分散は
(2 + 3 + 0 + 0 + 0 + (-2) + 0 + 1 + 0) / 10 = 0.4
よって相関係数は
0.4 / (1 * 2) = 0.2

uとvの相関係数を考える。
uの分散は s(u)^2 = { (u - u’)^2 の和 } / 10 = { (x - x’)^2 / c^2 の和 } / 10 = (xの分散) / c^2
よってuの標準偏差は (xの標準偏差) / |c| = s(x) / c である。
同様にvの標準偏差は (yの標準偏差) / |c| = s(y) / c であり、
uとvの共分散は (xとyの共分散) / c^2 である。
よってuとvの相関係数は
{ s(x)/c } { s(y)/c } / { s(xy)/c^2 }
= { s(x) s(y) } / { s(xy) }
であり、これはxとyの相関係数に等しい。

お礼

ありがとうございました。