三角関数 2

質問

-{tanθ+(1/tanθ)}について、θが幾つの時にどんな最大値を取るかがわかりません。
解法を教えてください。

また、tanθ、(1/tanθ)を2解に持つ二次方程式として考えるとどうなるかについても言及していただけると助かります。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

0＜θ＜π/2の範囲で考えるのであればtanθ>0であるから、いわゆる相加相乗平均の関係から
-(tanθ+(1/tanθ))≦-2
が成立します。等号が成り立つのはtanθ=1/tanθのとき、つまりθ=π/4のときですから、この時に与式は最大値-2となります。

tanθ、(1/tanθ)を2解に持つ二次方程式はx^2-(tanθ+(1/tanθ))x+1=0だが、何を考えればよいのかわからないと言ったのであって、どのように考えればよいかわからないとは言っていない。
x^2-(tanθ+(1/tanθ))x+1=0
x^2-2/sin2θ*x+1=0
となって、これの2解の和は2/sin2θでありその最小値は2である。したがって-(tanθ+(1/tanθ))の最大値は-2である。二次方程式を考えてもたいして役に立たなかったね。

お礼

解答ありがとうございます
相加相乗平均は思いつきませんでした

二次方程式はあんまり意味がないですね。
本質的には２倍角の公式しか使ってないので。
重解を持つ→tanθ=1/tanθで話を進めたかったのですが、
十回を持てば良いことの理由が説明できませんでした

回答No.3

gamma1854

f(x)=-tan(x)-1/tan(x) 、(0<x<pi, x≠pi/2) とすると、
f'(x)=4*cos(2x)/(sin(2x))^2 より、
極大値 f(pi/4)=-2,
極小値 f(3pi/4)=2.
max. min はなし。

お礼

回答ありがとうございます。
が、主は数学3を履修してないのでわからないです。ごめんなさい

回答No.1

f272

θ→π/2+0のとき与式→∞ですから最大値はありません。
「また、tanθ、(1/tanθ)を2解に持つ二次方程式として考えるとどうなるか」については何を考えればよいのかわからない。

補足

tanθについての話なので、0＜θ＜π/2と制限をかけます。

二次方程式の2解として考えるとは、
a^2+{tanθ+(1/tanθ)}a+1=0
として考えるということです。