ガリレイ変換と時間偏微分

質問

（ベクトルは↑で表す）
一定の速度u↑で動いている座標系K~での位置ベクトルr~↑で静止系Kでのr↑を表すと
r↑=r~↑+u↑t
K~系での変数はr~↑とt,K系ではr↑とt
▽f=▽~f

まではいいのですが、次の式が導けません。

r~↑を一定にしたK~系でのtによる偏微分は
∂f/∂t[r~↑]=∂f/∂t[r↑]+u↑・▽f
となるらしいのですが・・・。

ちなみに、いつもコピペで出しているのですが、「∂」のふりがながわかりません。

回答No.2

KENZOU · ベストアンサー

ベクトル記号は省略。ガリレイ変換は
ｒ~＝ｒ－ｕｔ　（or　ｒ＝ｒ~＋ｕｔ）　　
ｔ~＝ｔ　　　　　　　　　　　　　　(1)
と書かれますね。
f＝f(r~,t~）
とすると合成関数の微分法より
∂f/∂r＝(∂f/∂r~)(∂r~/∂r)＋(∂f/∂t~)(∂t~/∂r)
　　　＝∂f/∂r~＝∇~f （∵∂t~/∂r＝０）　(2)
∂f/∂t＝(∂f/∂r~)(∂r~/∂t)＋(∂f/∂t~)(∂t~/∂t)
　　　＝∇~f・(-ｕ)＋∂f/∂t~
　　　＝-u・∇f＋∂f/∂t~　（∵∂t~/∂t＝1）　(3)
これから問題の式はすぐ出ますね。ところで、(3)で左辺はｒを固定した偏微分、右辺の∂f/∂t~はｒ~を固定した偏微分です。このことからt＝t~であるにもかかわらず∂f/∂tと∂f/∂t~とはずれてくることになります。
＞「∂」のふりがながわかりません
ラウンドと呼んだりしていますが。

お礼

ありがとうございます。以前勉強していた微分・積分の本をひっぱりながら思い出しました。

回答No.3

chiaki_primary

r、fはKでの位置ベクトルとある関数、
r~、f~はK~での位置ベクトルとある関数だとする。

r = r~+ut
なので、
f(r,t)
= f(r~+ut,t)
= f~(r~,t)
= f~(r-ut,t)
となります。

問題の式は以下のようになります。
∂f~(r~,t)/∂t …(1)
= df(r,t)/dt [r~=一定] …(2)
= df(r~+ut,t)/dt …(3)
= ∂f(r,t)/∂t + ∂f(r,t)/∂r dr/dt
= ∂f(r,t)/∂t + u∇f

(1)式では独立変数はr~、tで、
微分は、tについてのみの偏微分です。
f~をfに置き換えた(2)式では、
rがtに依存しますので、
tでの微分はrも微分する必要があります。
そこで、r=r~+utと変数変換して、
(3)式のようにします。
あとは普通の関数の微分と同様に、
微分すればOKです。

また、以下のように計算してもわかります。

df(r,t)
= ∂f(r,t)/∂r dr + ∂f(r,t)/∂t dt
= ∂f~(r~,t)/∂r~ dr~ + ∂f~(r~,t)/∂t dt
= df~(r~,t)

∴
∂f~(r~,t)/∂t
= ∂f(r,t)/∂r dr/dt
+ ∂f(r,t)/∂t dt/dt
- ∂f~(r~,t)/∂r~ dr~/dt

dt/dt = 1
この場合
dr/dt = u
dr~/dt = 0
なので、

= ∂f(r,t)/∂t + u∂f(r,t)/∂r
= ∂f(r,t)/∂t + u∇f
となります。

お礼

ありがとうございます。なんか図とか書いて理解しようとしてたのがかえっていけなかったんですね。考えてみれば、多変数の微分だったんですね。

回答No.1

abyssinian

>∂の読み方

文字自体は ｄ の手書き崩し形の一種で、丸まったｄ(round d)とか言う人もいます。
ABC…Zはローマ帝国が定めた文字（ローマ文字）なのでイタリック体かな？
だが現代日本の手書き文字には明朝体などの書体名が無いのと同様、名称は無いようです。
http://www.comunesofitaly.org/Links/Handwriting.htm

　適当に漢字登録しておけばいいんです。ちなみに僕は「デル」で　∂/∂、∂/∂t、…　などを登録してあります。

　質問が読みづらくてイミフメです。ベクトルに↑を付けて書く人が居ますが、最初に「位置ベクトルr、速度ベクトルu」と説明すべきで個々に↑は付けません。これは理数系共通の約束事です。
ポテンシャル（スカラ関数）はφやΨのギリシャ文字が普通なので f の説明が欲しいですね。（∇をとってるからスカラ関数かなと思うけど。）
∂f/∂t[r↑] は r∂f/∂t のことですか。

参考URL：

http://www.comunesofitaly.org/Links/Handwriting.htm

お礼

ありがとうございます。ＡＴＯＫを使っているのですが、ラウンドとやってもきごうで変換してもだめでした。ベクトルについては本当はタグを使ってボールド体で表記できればいいのですが・・・。