規則性の問題の解き方教えてください

質問

次の二題の問題と解説について、解説の星印の部分を詳しく教えてもらえないでしょうか？
理解できずに困っています。どなたかお力を貸してください。

　1.Ｓ＝０．１１１… ＋０．２２２… ＋０．３３３… ＋・・・＋０．９９９…　を計算してください。

　ａ＝０．１１１…　とし、両辺に１０をかけると、
　１０ａ＝１．１１１…
　２つの式から、９ａ＝１　よって、ａ＝１／９

　ｂ＝０．２２２…　とすると、ａと同じようにして、ｂ＝２／９

　ｃ＝０．３３３…　とすると、ｃ＝３／９

　Ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋…
　　＝１／９＋２／９＋３／９＋・・・＋９／９　　両辺に９をかけると、
　　☆　９Ｓ＝１＋２＋３＋…＋９　　１＋２＋３＋…Ｎ＝Ｎ（Ｎ＋１）／２（ここがわかりません）
　なので、
　９Ｓ＝９（９＋１）／２　

　よって、Ｓ＝５　・・・（答

2.つまようじを並べて三角形をつくります。１回目は、３本で１つの三角形をつくります。

画像参照

　つまようじが８４本になるのは何回目ですか。　

答え
３Ｎ２－３｛１＋２＋３＋・・・＋（Ｎ－１）｝＝Ｓ
　Ｎ２－｛１＋２＋３＋・・・＋（Ｎ－１）｝＝Ｓ／３
　☆　Ｎ２－（Ｎ－１）Ｎ／２＝Ｓ／３　（ここが理解できません）
両辺に６をかけると、
　６Ｎ２－３Ｎ（Ｎ－１）＝２Ｓ
　３Ｎ２＋３Ｎ＝２Ｓ
　３Ｎ（Ｎ＋１）＝２Ｓ

回答No.2

suko22 · ベストアンサー

＃１です。

解答のやり方がいまいちわかりません。

とりあえず、私ならこう考えるというのをご紹介します。
（ここでは*は×の記号の代わりで、Ｎの２乗をＮ＾2と書きます。）

１回目　三角形１段　3本
２回目　三角形２段　3+3*2本（１段目+２段目＝3+２段目に三角形２個＝3+3*2）
３回目　三角形３段　3+3*2+3*3本（１段目+２段目+3段目＝3+2*2+３段目に三角形３個＝2+3*2+3*3）
・
・
Ｎ回目　三角形Ｎ段　3+3*2+3*3+・・・+3*Ｎ

規則性よりＮ回目のつまようじの本数Ｓは、
Ｓ＝3+3*2+3*3+・・・3*Ｎ　と推定できる。
　＝3（1+2+3+・・・Ｎ）
　＝3*Ｎ（Ｎ+1）/2

両辺２倍すると、
2Ｓ＝3Ｎ（Ｎ+1）・・・解答と同じ式が出ます。

Ｓ＝84のときのＮを求めればよいから、
2*84＝3Ｎ（Ｎ+1）
3Ｎ＾2+3Ｎ-168＝0
Ｎ＾2+Ｎ-56＝0
（Ｎ+8）（Ｎ-7）＝0
Ｎ＝-8，7

Ｎ＞0よりＮ＝7　
∴７回目

またなにかありましたら補足入れてください。

お礼

ご親切にありがとうございます。規則性の単元が苦手なのですが、もしなにかいい教材等あればご教授いただけないでしょうか？

回答No.1

suko22

＞☆　９Ｓ＝１＋２＋３＋…＋９　　１＋２＋３＋…Ｎ＝Ｎ（Ｎ＋１）／２（ここがわかりません）

この程度だったら1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45
9Ｓ＝45よりＳ＝5でもかまいません。

解説は、自然数の和をうまく求める方法でやっています。
1+2+3+・・・+Ｎ＝Ｓ’とすると、左辺を逆からあらわすと、
Ｎ+Ｎ-1+・・・3+2+1＝Ｓ’となり、
各辺同士たすと、
（1+Ｎ）+（1+Ｎ）+・・・（1+Ｎ）＝2Ｓ’
左辺は（1+Ｎ）がＮ個あるから
Ｎ（1+Ｎ）＝2Ｓ’
Ｓ’＝Ｎ（Ｎ+1）/2

よって、1+2+3+・・・+Ｎ＝Ｎ（Ｎ+1）/2となります。
1からＮまでの自然数の和の公式です。

これは1+2+3+4+5+6+7+8+9を求めたいときにＮ＝9とするとＳ’＝9（9+1）/2という風に使えます。

Ｓ’＝1+2+3+4+5+6+7+8+9を逆さまから書いて
Ｓ’＝9+8+7+6+5+4+3+2+1

これを上下でさすと
2Ｓ’＝10+10+10+10+10+10+10+10+10
2Ｓ’＝10*9
2Ｓ’＝90
Ｓ’＝45

と求めることもできます。

＞☆　Ｎ２－（Ｎ－１）Ｎ／２＝Ｓ／３　（ここが理解できません）
ここも上と同じです。1+2+3+・・・+Ｎ+1＝（Ｎ-1）Ｎ/2
となります。1からＮ-1までの自然数の和です。

もしわからないところがあれば補足いれてください。

補足

ご親切にありがとうございます。恐縮ですが二番目の問題の解法を最初から説明いただけないでしょうか？