数学の問題です

質問

赤玉1個、白玉1個、青玉2個の中から1個取り出し色を調べてから戻す。これを5回繰り返す。どの色も一回は出る確率を求めよ。この問題を教えてください！

回答No.1

staratras · ベストアンサー

1回の試行で赤玉、白玉、青玉が出る確率をそれぞれ、r,w,bとするとr=w=1/4、b=1/2。

5回の試行で起きる全事象（順番は別）は(r+w+b)^5の展開式の各項で網羅されている。
例えば、r^5は5回すべて赤玉が出る場合であり、r^2・w^2・bは赤2個白2個青1個の場合である。

ここで「どの色も1回は出る」のは、
(1)「ある色が3回、他の2色が1回ずつ出る場合」か
(2)「ある色が1回、他の2色が2回ずつ出る場合」のいずれかである。

(1)の場合、r^3・w・b、r・w^3・b、r・w・b^3の場合であり、展開式における各項の係数は多項定理により
5！/3!1!1!=20だから　
確率は20〔（1/4)^3・(1/4)(1/2)・2+(1/4)(1/4)・(1/2)^3〕=20〔(1/4)^4+(1/4)^2・1/8〕=15/64

(2)の場合、r・w^2・b^2、r^2・w・b^2、r^2・w^2・bのときであり、展開式のこれらの各項の係数は同様に
5!/2!12!1!=30 だから
確率は30〔(1/4)(1/4)^2・(1/2)^2・2+(1/4)^2・(1/4)^2・(1/2)〕=30((1/4)^4・2+(1/4)^4・(1/2)〕=75/256

どの色も1回は出る確率はこの両者の和で、15/64+75/256=135/256