完成された数学とはどのようなものでしょうか？

質問

以前ある学者が本の中で
「いいですか、完成された数学とはどのような
　ものでしょうか？完成された数学とは
　おそらく・・・」
と、言っていたのを読んでずっと気になっています。
しかもその先が書いてありませんでした。
完成された数学ってどんなものでしょうか？
また、検索エンジンを使って自分でも調べたいので
どの検索エンジンでどんな語句を入れればいいかも
教えてください。

回答No.2

patrasche

stomachmanさんの回答を含め、大抵の数学者が、
数学、すなわち、形式主義
という立場を、あたりまえのように取っている、
という点を指摘しておきましょうか。
（stomachmanさんも、はじめに断っておられるように）

これに全幅の信頼を寄せると、
形式主義の限界、すなわち、数学の限界、ということになるわけです。（そして、その意味における、「完成された数学」の失敗）

じゃ、形式主義以外の、なにをもって、数学とするのか、

俺は、あんまり詳しくないので、どうしようにも答えられませんが、
そこらへんのことを、
stomachmanさんのような有識者に、
に突っ込んで聞いてみるのも、
「完成された数学とはどのようなものでしょうか？」
という質問の
解決のなんらかの糸口になるかもしれません。

回答No.1

stomachman

現代の数学は大抵、形式主義を取っています。
すなわち、論理式の文法を決めた形式的言語と、幾つかの公理と、推論規則とを定めて、公理から推論規則で導ける論理式を定理と言います。そしてその定理全体の集まりを理論と呼んでいます。証明というのは、公理から出発して、推論規則を繰り返し適用し、定理を導き出す過程を書いたものです。（詳しくは下記URLをご参照下さい。）こういう基本的なルールをどう定めるのが良いか、ということを研究する分野を「数学基礎論」と言います。

　従って、「完成された数学」とは、或る論理式の文法を決めた形式的言語と、幾つかの公理と推論規則を定めてあって、公理から推論規則で導ける論理式が全て網羅されている、ということでしょう。言い換えれば、どんな論理式を与えられても、それが定理であるか、定理でないかが必ず判定できる。さらに別の言い方をすると、論理式Aを入力すると定理であるかどうかを自動的に判定するようなプログラムが書ける。「完成された数学」とは、そういう体系のことでしょう。

　ところが、クルト・ゲーデルは数学自身の性質を数学的に解析し、不完全性定理を発見しました。どういうことかと言うと
「自然数を扱うことが出来るような形式的体系においては、必ず、或る論理式Aが存在して、Aが定理であるか、定理でないかが、その体系の中では決定できない。」
つまり、公理と推論規則を使ってAを証明することも、Aの否定（￢A）を証明することもできない。
　従って、「無限」を扱えるような体系（必然的に自然数も含まれることになります）は、「完成された数学」にはなり得ないんです。

かくて、検索すべきキーワードは「不完全性定理」「無限」「数学基礎論」「ゲーデル」「ヒルベルト」「形式主義」などなど。OK Web(教えてgoo)の中だけでも沢山ヒットがあると思いますよ。ただし不完全性定理については一知半解、オカルトやらいい加減な話も多いのでご注意。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=43691

お礼

詳しいレスをありがとうございます。
じしんあり、とはにくいですね。
大学院生か何かですか？
20ポイント差し上げます。