円と方眼紙

質問

算数の問題でしょうか？

1辺1cmの方眼紙に半径50.038cmの円を描いたとき
円にかかかるマス目は何マス有るか

という問題はどのように計算したらよいでしょうか？
よろしくおねがいします。

回答No.9

staratras · ベストアンサー

No.3&5です。誤りと説明不足の点を補足・訂正します。

まず「円がその一部を覆う方眼の数」の計算で、方眼の数は円周上の点が縦横いずれかの罫線を横切る回数に等しいので、最後に2で割ったのは勘違いの誤りで、404個です。

次にある方眼のマス目が円の内部に完全に含まれる条件は、第1象限の４分円で考えると、そのマス目の右上隅の格子点が円の内部に含まれることです。

このため、例えば第１象限の４分円の最下段のマス目を円の中心に近い方から数えていくと、50個目が含まれるか否かがポイントで、このマス目の右上の格子点（50,1)が円周内にあるかどうかは、x^2+y^2=2501<50.038^2=2503.80144 より円周内であることがわかります。これは、x^2+y^2<50.038^2 についてy=1を代入してxの正の整数解を求めた場合の最大の値x=50に対応しています。またこのxの値は円内に全部が含まれる最下段の方眼のマス目の総数でもあります。

この操作をy=1からy=50まで繰り返して正の整数解をすべて求めれば、４分円内のマス目の個数が求められることになります。この合計は1915になるはずです。この4倍にNo.3で求めた「円がその一部を覆う方眼の数」の正しい値404個を加えた、1915×4+404=8064 が最終的な答えです。

次に円の半径が100.02651の場合の略解です。
まず円周が通る方眼のマス目の数は、(201+201)×2=804です。

円で完全に覆われているマス目の数は、x^2+y^2<100.02651^2の正の整数解の合計が7762だから、7762×4=31048　です。
実際の計算は下の表を表計算ソフト（LibreOffice　Calc)で作成しました。最上段(y=100)のマス目の個数は2、最下段(y=1)のマス目の個数は100であることを示しています。

この両者を加えると、804+31048=31852 となります。

お礼

度重なる解答ありがとうございました
中学生であることでシグマが何なのか解らないのと表計算はわからないのでNo3とNo9が参考になりました
教わるまでまったく解らなかったですが解ってしまうと意外と簡単ですね

回答No.12

staratras

蛇足的考察です。この問題の答えから、半径50.038cmの円の面積は7660cm2より大きく、8064cm2より小さいことがわかります。円の面積を求める公式と考えあわせると円周率πの値の範囲がわかります。
7660＜π・50.038^2＜8064なので、3.0593…＜π＜3.2207…　です。あの有名な東大の入試問題（円周率は3.05より大きいことを証明せよ）でこの解答なら何点もらえるでしょうかね。

ここで一歩進めて、円がその一部を覆っている方眼のマス目の「覆われている割合」を大ざっぱに見積もって「1/2」と仮定します。円の「面積」は7660+404×1/2=7862cm2となり、これからπを求めると、
7862/50.038^2=3.140025348…　となります。こんな大まかな仮定でも円周率の値が小数第2位まで正しいのは興味深いですね。

お礼

ありがとうございました
表計算持ってないのでプログラミングで挑戦してみました
きちっと答えが導き出せました。

回答No.11

178-tall

ANo.7 の EXCEL 勘定例は「コピー誤操作」で、判読不能な「無要の長物」でした。
蒙御免。
もとの「半径 50.038 cm の円」の例を以下にコピーしてみます。

x　　　y　　　h

0　　50.04　　51
1　　50.03　　51
2　　50.00　　50
3　　49.95　　50
4　　49.88　　50
5　　49.79　　50
6　　49.68　　50
7　　49.55　　50
8　　49.39　　50
9　　49.22　　50
10　　49.03　　50
11　　48.81　　49
12　　48.58　　49
13　　48.32　　49
14　　48.04　　49
15　　47.74　　48
16　　47.41　　48
17　　47.06　　48
18　　46.69　　47
19　　46.29　　47
20　　45.87　　46
21　　45.42　　46
22　　44.94　　45
23　　44.44　　45
24　　43.91　　44
25　　43.35　　44
26　　42.75　　43
27　　42.13　　43
28　　41.47　　42
29　　40.78　　41
30　　40.05　　41
31　　39.28　　40
32　　38.47　　39
33　　37.61　　38
34　　36.71　　37
35　　35.76　　36
36　　34.75　　35
37　　33.69　　34
38　　32.55　　33
39　　31.35　　32
40　　30.06　　31
41　　28.68　　29
42　　27.20　　28
43　　25.59　　26
44　　23.83　　24
45　　21.88　　22
46　　19.69　　20
47　　17.17　　18
48　　14.14　　15
49　　10.14　　11
50　　 1.95　　 2
　　　　　　　 ----
　　　　Σh　　 2016
　　　4*Σh　　 8064

お礼

度重なる回答ありがとうございました

回答No.10

staratras

表計算ソフトでx^2+y^2<100.02651^2 の正の整数解の個数を求めるには、例えばA列のA1からA100に1から100までの数を入れておいて、
B列で「=INT(SQRT(100.02651^2-A1*A1))」をA1からA100まで計算させてΣを取るのが簡単でしょう。連続データ作成と計算式のコピーですぐにできます。

お礼

ありがとうございました

回答No.8

178-tall

EXCEL の勘定例に「二重加算」あり。
　　　↓
100.02651 cm だと 31448 らしい。

お礼

ありがとうございました

回答No.7

178-tall

>100.02651 cm だと 31852 だそうです

これを見ると、「円にかかかるマス目」とは円周内に (部分的にでも) 含まれるマス目数のことらしい。
EXCEL に勘定させた例…。
　　　↓
x 　　y 　　マス目数

0 100.027 101
1 100.022 101
2 100.007 101
3 99.982 100
4 99.946 100
5 99.901 100
6 99.846 100
7 99.781 100
8 99.706 100
9 99.621 100
10 99.525 100
11 99.420 100
12 99.304 100
13 99.178 100
14 99.042 100
15 98.895 99
16 98.739 99
17 98.571 99
18 98.394 99
19 98.205 99
20 98.007 99
21 97.797 98
22 97.577 98
23 97.346 98
24 97.105 98
25 96.852 97
26 96.588 97
27 96.314 97
28 96.028 97
29 95.730 96
30 95.422 96
31 95.102 96
32 94.770 95
33 94.426 95
34 94.071 95
35 93.703 94
36 93.324 94
37 92.932 93
38 92.527 93
39 92.110 93
40 91.680 92
41 91.238 92
42 90.782 91
43 90.312 91
44 89.829 90
45 89.333 90
46 88.822 89
47 88.297 89
48 87.757 88
49 87.203 88
50 86.633 87
51 86.048 87
52 85.448 86
53 84.831 85
54 84.198 85
55 83.548 84
56 82.881 83
57 82.197 83
58 81.494 82
59 80.773 81
60 80.033 81
61 79.274 80
62 78.494 79
63 77.694 78
64 76.872 77
65 76.028 77
66 75.162 76
67 74.272 75
68 73.357 74
69 72.418 73
70 71.451 72
71 70.458 71
72 69.436 70
73 68.383 69
74 67.300 68
75 66.184 67
76 65.033 66
77 63.846 64
78 62.620 63
79 61.354 62
80 60.044 61
81 58.688 59
82 57.283 58
83 55.824 56
84 54.307 55
85 52.729 53
86 51.081 52
87 49.359 50
88 47.553 48
89 45.654 46
90 43.650 44
91 41.525 42
92 39.259 40
93 36.828 37
94 34.195 35
95 31.310 32
96 28.095 29
97 24.419 25
98 20.033 21
99 14.293 15
100 2.303 3
　　 -----
四分円計 　 7963
円計　　 31852

お礼

ありがとうございました

回答No.6

staratras

円の一部の図を追加します。

お礼

ありがとうございました

回答No.5

staratras

No.3で求めたのは「円周が通過する方眼の数」で、「円がその一部を覆う方眼の数」でもあります。問題が「円が一部、または全部を覆う方眼の数を求めよ」という意味であれば、これに「円が全部を覆う方眼の数」を加える必要があります。

４分円で考え、y=1からy=50までのyについて、√(50.038^2-y^2)>0の自然数解の個数を求めて足し上げます。

50個1通り、49個9通り、48個4通り、47個3通り、46,45,44,43,43,42,40個がそれぞれ2通り、41,39,38,37,36,35,34,33,32,30,28,27,25,23,21,19,17,14,10,1個がそれぞれ1通りあるので、

掛けて足し上げると、1915になるはずです。この4倍にNo.3で求めた「円がその一部を覆う方眼の数」202個を加えた、1915×4+220=7862 が最終的な答えです。

お礼

ありがとうございました

回答No.4

178-tall

>100.02651 cm だと 31852 だそうです

「円にかかるマス目」とは、円周内に含まれるマス目のこと？

お礼

ありがとうございました

回答No.3

staratras

解法の一例です。円の中心はマス目の罫線の交点にあるものとします。

半径が50.038cmと「はした」がありますので、この円は方眼のマス目の罫線の交点（円の中心を原点とするx-y座標を考えるとき、x,y座標がともに整数の格子点）を通ることはあり得ません。x^2+y^2=50.038^2 はxとyがともに整数である解を持たないからです。

円周上を動く点Pを考えると、点Pは縦の罫線をy=-50からy=50までの101本、横の罫線をx=-50からx=50まで101本、合わせて202本、それぞれ2回ずつ（合計のべ404回)横切ります。ある罫線を横切って次の罫線を横切るまでのあいだ一つのマス目の中にいることになりますので、点Pが通過するマス目の数は404÷2=202です。

なおこの問題で、円の半径が50cmで「はした」がなかったとすれば、格子点を通過しますので計算法が異なります。

お礼

回答ありがとうございます

解答方法をみてもちょっと解らないのですが・・・・
100.02651cmだと31852が正解なのだそなのですが合ってますが？

回答No.2

marukajiri

私には難しすぎて解けないので、実際にいくつか図を書いて、数を数えてみました。半径1cmの円なら1/4の弧で1つのマスにかかるので、1×4=4マスとなります。半径2cmの円なら1/4の弧で3マスにかかるので、3×4=12マスになり、半径3cmの円なら1/4の弧で5マスにかかるので、5×4=20マスになり、半径4cmの円なら1/4の弧で7マスにかかるので、7×4=28になり、半径5cmの円なら1/4の弧で9マスにかかるので、9×4=36マスになります。この調子で行くと、等差数列で半径50cmのものは、初項1等差2の式を当てはめることができ、1/4の弧のマスの数は
1+(50-1)×2=99
よって円はこれを4倍したものになるので
99×4=396マスになるのではないかと大雑把に予想します。答えになっていなくてすみません。（笑）

お礼

回答ありがとうございます。
難しいですよね＾＾；
答えを見てもまったくわかりません

ちにみに100.02651cmだと31852だそうです
marukajiriさんの解法で合ってますでしょうか？