この問題に悩んでいます

質問

問題は下記のとおりです。

問：集合｛１,２,３,４,５,６｝の部分集合は何個あるか。

この問題の解答によると、各要素について、属するか属さないかを決めると、部分集合が一つ決まり、部分集合の個数は　２*２*２*２*２*２＝６４(個）となるのですが、いまいち意味がよく理解できず悩んでいます。なので、もう少し丁寧に解説をお願います。

回答No.4

kurobe3463 · ベストアンサー

全部並べると

{ },
{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6},
{1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6},
{2,3}, {2,4}, {2,5}, {2,6},
{3,4}, {3,5}, {3,6},
{4,5}, {4,6},
{5,6},
{1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,2,6},
{1,3,4}, {1,3,5}, {1,3,6},
{1,4,5}, {1,4,6},
{1,5,6},
{2,3,4}, {2,3,5}, {2,3,6},
{2,4,5}, {2,4,6},
{2,5,6},
{3,4,5}, {3,4,6},
{3,5,6},
{4,5,6},
{1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,3,6},
{1,2,4,5}, {1,2,4,6},
{1,2,5,6},
{1,3,4,5}, {1,3,4,6},
{1,3,5,6},
{1,4,5,6},
{2,3,4,5}, {2,3,4,6},
{2,3,5,6},
{2,4,5,6},
{3,4,5,6},
{1,2,3,4,5}, {1,2,3,4,6}, {1,2,3,5,6}, {1,2,4,5,6}, {1,3,4,5,6}, {2,3,4,5,6},
{1,2,3,4,5,6}

の64個になりますが，
まず要素「1」が属すか属さないかで2通りあります．

　　　　　1あり
　　／
─
　　＼
　　　　　1なし

たとえば1のある部分集合は
{1},
{1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6},
{1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,2,6},
{1,3,4}, {1,3,5}, {1,3,6},
{1,4,5}, {1,4,6},
{1,5,6},
{1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,3,6},
{1,2,4,5}, {1,2,4,6},
{1,2,5,6},
{1,3,4,5}, {1,3,4,6},
{1,3,5,6},
{1,4,5,6},
{1,2,3,4,5}, {1,2,3,4,6}, {1,2,3,5,6}, {1,2,4,5,6}, {1,3,4,5,6},
{1,2,3,4,5,6}
の32個になります．
その中で2が属さないのは
{1}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {1,3,4}, {1,3,5}, {1,3,6}, {1,4,5}, {1,4,6}, {1,5,6}, {1,3,4,5}, {1,3,4,6}, {1,3,5,6}, {1,4,5,6}, {1,3,4,5,6}
の16個．
その中で3が属さないのは
{1}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {1,4,5}, {1,4,6}, {1,5,6}, {1,4,5,6}
の8個
その中で4が属するのは
{1,4}, {1,4,5}, {1,4,6}, {1,4,5,6}
の4個
その中で5が属するのは
{1,4,5}, {1,4,5,6}
の2個
その中で6が属さないのは
{1,4,5,6}
の1個に確定する．

これで要素一つ一つについて，「属する属さない」の2通りがあることがわかると思います．
つまり6桁の2進法で 000000 から 111111 の64個の数字があらわせることと同じです．
この6桁の数は「n桁目が要素nが属するか属さないかを表す」ということになります．

お礼

kurobe3463さん、大変分かりやすく多くの解説を書いていただいて有難うございます。やっと悩んでいた疑問が解けました。

回答No.3

kiriburi

>いまいち意味がよく理解できず悩んでいます
樹形図を描けば理解できるかと思います。

集合｛１,２,３,４,５,６｝は樹形図を描くには部分集合の個数がおおすぎるので、集合｛１,２,３｝の部分集合の個数で考えてみればよいかと……。

＜サンプル＞
１━○━２━○━３━○━（１個目）
　＼　　　　＼　　　　＼
　　　×　　　　×　　　　×
　　　　　＼　　　　＼　　　　＼
　　　　　　　２　　　　３　　　　（２個目）

続きを描いてみてください。
集合｛１,２,３｝の部分集合の個数が８個であることが分かり、２＊２＊２となる意味が理解できると思いますよ。

お礼

なるほど、確かにこういう場合は樹形図を書くことも便利ですよね。kiriburiさんの考えも大変参考になりました。有り難うございます。

回答No.2

arukamun

要素の数　　集合の数
　　0　　　　　6C0 = 1
　　1　　　　　6C1 = 6
　　2　　　　　6C2 = 15
　　3　　　　　6C3 = 20
　　4　　　　　6C4 = 15
　　5　　　　　6C5 = 6
　　6　　　　　6C6 = 1
合計　　　　　　　64
（※要素の数が0は空集合です。念のため。）
という計算をしても良いのですが、面倒ですよね。

ある要素を含むか含まないかの２通りあって、
要素の数が６個なので、
2^6 = 64
と考えた方がスマートですね。

お礼

有難うございました。大変参考になりました。

回答No.1

Quattro99

「1」が含まれる場合と含まれない場合で2通りに分かれ、それぞれ「2」が含まれる場合と含まれない場合でまた2通りに分かれ、．．．ってことだと思います。

一つも含まれない場合も部分集合と呼べるのかどうかは忘れましたが、回答から考えると呼べるんでしょうね。

お礼

回答ありがとうございました。参考にしようと思います。