cos18°の求め方

質問

三角関数表を使わずにcos18°の求め方がわかりません。

回答No.2

arukamun · ベストアンサー

sin(2*18°) = sin36°= sin(90°-54°) = cos(54°) = cos(3*18°)
sinの二倍角の公式 sin2θ = 2sinθ*cosθ
cosの三倍角の公式 cos3θ = 4*(cosθ)^3-3cosθ
より
2sin18°*cos18° = 4*(cos18°)^3-3cos18°
両辺をcos18°で割ると
2sin18°= 4*(cos18°)^2-3
(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1より
2sin18°= 4*(1-(sin18°)^2)-3
= 4-4(sin18°)^2-3
= 1-4(sin18°)^2
4(sin18°)^2+2sin18°-1 = 0
二次方程式解の公式より
sin18° = (-1±√5)/4
sin18°> 0より
sin18° = (-1+√5)/4
(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1より
(cos18°)^2 = 1-((-1+√5)/4)^2
= 1-((1-2√5+5)/16)
= 1-((6-2√5)/16)
= 1-((3-√5)/8)
= (8-3+√5)/8
= (5+√5)/8
cos18°= √((5+√5)/8)
= √(10+2√5)/4

もしかしたら五倍角の公式
sin5θ = 16(sinθ)^5-20(sinθ)^3+5sinθ
cos5θ = 16(cosθ)^5-20(cosθ)^3+5cosθ
とか使ってもっとスマートに解けるのかも知れません。

お礼

丁寧な解説をありがとうございます。三角関数で大きな穴のあいている私にとって、このようにくわしい解説は本当にありがたいです。答えを知りたいのではなく、考え方を知りたかったんです。本当にありがとうございました。

回答No.1

secret-goo

正五角形を利用すれば解けます。
下のサイトの　航海日誌　00/06/25　を参考にしてください。

参考URL：

http://genryu.cside4.com/yoshitago/donnwa/sei5hi.html

お礼

正五角形ですか。なるほど、その通りですね。相似な三角形の相似比を利用するのかな、と少し考え始めていたところです。ありがとうございました。