大学の数学の問題で分からない問題があります。

質問

線形大数学の行列で次の問題が解けません。
a1=[1,-1,2] a2=[-1,4,1] a3=[3,-4,5]である
(1) a1,a2,a3が線形従属であることを示せ。
(2) a2をa1とa3の線形結合で表せ。

解答と解き方、よろしくお願いします。

回答No.3

info222_

a1=[1,-1,2] a2=[-1,4,1] a3=[3,-4,5]
(1)
k1 a1^T+k2 a2^T+k3 a3^T=[0,0,0]^T (k1,k2,k3は実数定数) ...(#)
(^Tは転置)
とおくと
1*k1+(-1)*k2+3*k3=0 ...(a)
-1*k1+4*k2+(-4)*k3=0 ...(b)
2*k1+1*k2+5*k3=0 ...(c)
(c)-2(a)より
3k2-k3=0
k3=-3k2 ... (d)
(a)より k1=-4k2 ...(e)
(b)より 20k2=0
k2=0
(e),(d)より k1=k3=0
(#)が成り立つのはk1=k2=k3の時のみ。
つまり, a1,a2,a3 は線形従属である。

(2)
(1)より
a2^T=m a1^T+n a3^T (m,nは実数定数 ...(f)
とおくと
-1=m+3n ...(g)
4=-m-4n ...(h)
1=2m+5n ...(i)
(g),(h)より n=-3, m=8 ...(j)
(j)は(i)を満たす。
(j)を(f)に代入して
∴a2^T=8 a1^T -3 a3^T (^Tは転置)

回答No.2

178-tall

>(1) a1,a2,a3が線形従属であることを示せ。

行列 A
　　= [a1 ;
　　　 a2 ;
　　　 a3 ]
の「行列式」が零になることを示せばよい。
勘定は割愛。

>(2) a2をa1とa3の線形結合で表せ。

[-1,4,1] = A*[1,-1,2] + B*[3,-4,5]
を解く。
(1) により、どれかペアを解けばよい。
勘定例 :
-1 = A + 3B
4 = -A - 4B
　　　↓
A = 8, B = -3

回答No.1

f272

(2)
じっと睨めばa2=8a1-3a3
(1)
(2)の結果から明らか。