ニュースタンダード Check115

質問

ニュースタンダードという問題集の78ページ、Checkの115の解き方、解説をお願いします！

答えは（1）α=π/6
　　　（2）∠PQQ"=2θ-π/6、
　　　　　√3/3<PQ"<√39/3
　　　　　　　　　　　　　　です。

回答No.1

noname#227255 · ベストアンサー

(1)
△OQPと△OQ'Pは∠OQP=∠=OQ'P=π/2の合同な直角三角形であり、
OP：OQ=2√3/3：1=2√3：3=2：√3であるから、
α=∠POQ=∠POQ'=π/6

(2)
線分OPとx軸のなす角の大きさはθ、線分OQ"とx軸のなす角の大きさはθ-π/6であるから、
∠POQ"=θ+θ-π/6=2θ-π/6

次に、下の『HINT』にあるように、△POQ"において余弦定理から、
PQ"^2
=OP^2+OQ"^-2*OP*OQ"*cos∠POQ"
=(2√3/3)^2+1^2-2*(2√3/3)*1*cos(2θ-π/6)（※OQ"=OQ'=1）
=7/3-(4√3)cos(2θ-π/6)/3

θ=π/6とすると、
PQ"^2
=7/3-(4√3)cos(2π/6-π/6)/3
=7/3-(4√3)cos(π/6)/3
=7/3-(4√3)*(√3/2)/3
=7/3-6/3
=1/3
よって、PQ"=√(1/3)=√3/3

また、θ=π/2とすると、
PQ"^2
=7/3-(4√3)cos(π-π/6)/3
=7/3-(4√3)cos(5π/6)/3
=7/3-(4√3)*(-√3/2)/3
=7/3+6/3
=13/3
よって、PQ"=√(13/3)=√39/3

α＜θ＜π/2であるから、√3/3＜PQ"＜√39/3

お礼

ありがとうございます！大変参考になりました。