消費電力の求め方

質問

電子回路の勉強をしています。
消費電力の求め方で疑問点があります。

一般に交流信号の消費電力Pを求めるには、一周期分の瞬時電力pの平均で求めます。
例えば、P=（1/T）∫[0, T] pdt　のように求めます。

一方で、抵抗Rで消費される瞬時電力pが下記の式で表せる場合、消費電力はどのように求めるのでしょうか？
p={e^(-ｔ/τ)}^2/R

先ほどの例でいくと、P=（1/∞）∫[0, ∞] pdt=0となってしまう気がするのですが。

ご回答よろしくお願いいたします。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

>では下記の瞬時電力が周期的に(Ts秒ごとに)繰り返される場合には、
>平均電力はどのように求められるのでしょうか？

>実はこの問題はCMOSインバータ回路の消費電力を求めるもので、
>瞬時電力pを［0, ∞］で積分して消費電力量を求め、
>サンプリング周期Tsで割ったものが消費電力と記述されていました。

以上の話からすると、インバーターのスイッチング時の消費電力量と
インバーターに定周期のパルスを入力したときの電力消費も求めよという
話みたいですね。とすると、減衰時定数(T)とスイッチング周期は
別々のはずで

　減衰時定数 << 周期

という関係でないと話が合いません。この関係なら［0, ∞］で積分しても
大きな誤差にはならないので問題ないでしょう。
周期で割れば周期で均した平均電力を求めることができます。
＃もちろん０にはなりません。

周期はパルスの周期の半分のはずです。
＃1パルス周期で2回スイッチングがおきるはずなので、PMOS, NMOSの
＃特性が対称ならば・・・

あと、なんとなく想像が付かないわけではありませんが、なぜここで
「サンプリング周期」という言葉が出てくるか不明ですよね。

話を小出しにしないで、全部かくか、話が明瞭に伝わるように工夫してください。

お礼

回答ありがとうございます。

減衰時定数τ<<周期Tsならば∞で積分した消費電力量とTsで積分した消費電力量が等しくなるということですね。ようやく納得できました。

回答No.6

ninoue

>実はこの問題はCMOSインバータ回路の消費電力を求めるもので、瞬時電力pを［0, ∞］で積分して消費電力量を求め、サンプリング周期Tsで割ったものが消費電力と記述されていました。

それでしたら上記の計算方式:積分期間を[0,∞]とするのは誤りです。

周期Ts毎に繰り返される回路の平均消費電力は、Ts毎の(消費電力==瞬時電力)積算値を先ず求め、周期Tsで割れば求められます。

結果は次のようになります。
Ps=∫[0,Ts]pdt=∫[0,Ts]{Vexp(-t/τ)}^2/R dt = (τ/2)*(V^2/R)*(1-exp(-2Ts/τ))

平均消費電力
P=Ps/Ts = V^2*(1-exp(-2Ts/τ))*(τ/Ts)/(2R)

Ts<<τの場合:
次の近似式を使って簡略化すれば
exp(-x)=1-x+x^2/2-x^3/6+... = 1-x

P=V^2*(2Ts/τ)*(τ/(2RTs)) = V^2/R

Ts>>τの場合
P=(V^2/R)*(τ/(2Ts))

お礼

回答ありがとうございます。

[0, ∞]ではなく[0, Ts]で積分する方法で求められるのですね。
非常に勉強になりました。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

ばくぜんと「消費電力」という言葉を使ってますが
交流の場合、交流は定常的で周期的な電圧電流なので
１周期の中で瞬時電力を均したものを単に「消費電力」
と呼ぶことがあります。これに時間をかければ電力量が
わかるので便利だからです。

定常的でも周期的でもない電圧電流にはこのような
「消費電力」を定義することはできません。
無限の期間で平均を取ることはできますが
実用的な意味はありません。瞬時電力で
扱うしかありません。

お礼

回答ありがとうございます。

＞定常的でも周期的でもない電圧電流にはこのような
「消費電力」を定義することはできません。

では下記の瞬時電力が周期的に(Ts秒ごとに)繰り返される場合には、平均電力はどのように求められるのでしょうか？

p={e^(-ｔ/τ)}^2/R

実はこの問題はCMOSインバータ回路の消費電力を求めるもので、瞬時電力pを［0, ∞］で積分して消費電力量を求め、サンプリング周期Tsで割ったものが消費電力と記述されていました。

消費電力ならpを［0, Ts］で積分、あるいは消費電力量をTsではなく∞で割るべきなのでは、と思うのですが。

回答No.3

ninoue

一部回答に誤りがありましたので訂正します。
τ= CR
i=Ve(-t/τ)/R

p=i^2*R = V^2*e(-2t/τ)/R
P=∫[0,∞]pdt =[0, ∞]{(-τ/2) V^2e(-2t/τ)/R}
= (τ/2)V^2/R = (CR/2)V^2/R = CV^2/2
となり、コンデンサに溜っていた電力が放電時に抵抗で消費される事が分ります。

回答No.2

ninoue

指数関数の積分はゼロにはなりません。
P=∫[0, ∞] pdt = ∫[0,∞]e(-2t/τ)/R dt = [0,∞]{-τ/(2R)e(-2t/τ)}=τ/(2R)

この式はコンデンサと抵抗が並列に接続され、充電電圧:V=1volt迄充電されている場合の放電時の抵抗で消費される電力を求める事と同じですよね。

コンデンサの電力は　C*V^2/2 ですよね。
この放電回路の時定数は　τ=C/R

P=τ/(2R); 電圧が V の場合は　P=τV^2/(2R)=(C/R)V^2/(2R) =CV^2/2
となり、コンデンサに溜っていた電力が放電時に抵抗で消費される事が分ります。

無限大の時間の間の平均消費電力を求めるのであれば、この放電回路ではゼロとなりますが。

お礼

消費電力量がCV^2/2となるのは分かりました。

∞の平均消費電力ではなく交流電力と同じように１周期Ts分の平均電力を求める場合、消費電力量CV^2/2をTsで割れば求まるらしいのですが、ここがよく分かりません。

消費電力量はP=∫[0, ∞] pdtにあるように∞までの時間を積分しているのに、Tsで割るとなぜ平均消費電力が求まるのか。"平均消費電力"なら∞で割るべきでないのか。

交流電力の場合なら、P=∫[0, Ts] pdtで消費電力量を求めて、Tsで割れば平均値が出るのですが。

回答No.1

uen_sap

消費電力の求め方がそれで良いのかどうかは問題があるのではないか、と思うが、正しいとすると、
又、極限値が「0」になることが正しいとすると、無限大時間の平均の電力消費に意味がない、と言うことです。
有限の時間内においてのみ平均電力が存在する。
しかし、漸減していく電力消費に平均値を求めることに意味があるのかどうかが疑問です。

お礼

回答ありがとうございました。
確かに減衰していく電力の平均電力は０になりますね。
有限の時間内においてのみ平均電力が存在、覚えておきます。